Topolog EDa 2C 20espacios 20m E9tricos

UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matem´
aticas

Topolog´ıa
3. Espacios m´
etricos
Pedro Jos´
e Herrero y Pascual Lucas
Resumen: En este cap´ıtulo definimos lo que es un espacio m´etrico
y estudiamos sus primeras propiedades. Despu´es de poner los primeros ejemplos de distancias en R, R2 y Rn , definimos la distancia a
un conjunto y la distancia entre conjuntos. Introducimos las bolas yprobamos que son la base para una topolog´ıa: la topolog´ıa m´etrica.
Finalizamos estudiando los espacios topol´ogicos metrizables, por sus
importantes aplicaciones en otras ramas de las matem´aticas.

c 2002 plucas@um.es
Actualizado el 18 de febrero de 2002

Versi´on 0.2

Indice general
1. Distancias
1.1. Ejemplos de distancias
2. Distancia a un conjunto
3. Bolas m´
etricas
3.1. La topolog´ıa m´etrica
3.2. Ejemplos de bolas
4. Abiertos y cerrados
4.1. Abiertos
4.2. Cerrados
5. Conjuntos acotados. Distancia acotada
5.1. Conjuntos acotados
5.2. Distancia acotada
6. Espacios metrizables
7. Problemas propuestos
Soluciones de los ejercicios

Secci´
on 1: Distancias

3

1. Distancias
Una de las maneras m´as frecuentemente usadas para dotar de una topolog´ıa a un
conjunto es definir la topolog´ıaen t´erminos de una distancia en el conjunto.
Definici´
on 3.1 Dado un conjunto X, una distancia es una aplicaci´on d : X × X −→ R
que a cada par (x, y) ∈ X×X le asocia un n´
umero real d(x, y) y que cumple las siguientes
condiciones:
(1) d(x, y) ≥ 0.
(2) d(x, y) = 0 si, y s´olo si, x = y (separaci´on).
(3) d(x, y) = d(y, x) para todo x, y ∈ X (simetr´ıa).
(4) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) para todox, y, z ∈ X (desigualdad triangular).
Definici´
on 3.2 Un espacio m´
etrico es un par (X, d), donde X es un conjunto y d es
una distancia definida en X.
Ejemplo 3.1.
(1) En el conjunto de los n´
umeros reales R podemos definir una distancia tomando el
valor absoluto de la diferencia, es decir, d : R × R → R definida como d(x, y) =
|x − y|.
Toc

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Doc

Doc

Secci´
on 1: Distancias

4

(2)El espacio m´
etrico discreto. Sea X un conjunto no vac´ıo cualquiera; definimos
una distancia d como sigue:
0 si x = y
1 si x = y

d(x, y) =

El siguiente resultado es bien conocido del ´algebra lineal, en el ´ambito de los espacios
vectoriales con un producto escalar.
Proposici´
on 3.1 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Si a1 , a2 , . . . , an y b1 , b2 , . . . , bn
son n´
umeros realescualesquiera, entonces:
2

n

ai bi
i=1

n

n

a2i

≤

b2i

i=1

.

i=1
n

Demostraci´
on. Dado cualquier n´
umero x ∈ R se verifica que i=1 (ai x + bi )2 ≥ 0. Si
desarrollamos el cuadrado y agrupamos tendremos que Ax 2 + 2Bx + C ≥ 0, tomando
n
n
n
A = i=1 a2i ; B = i=1 ai bi y C = i=1 b2i .
En estos t´erminos, lo que queremos probar es que B 2 ≤ AC. Si A = 0 entonces
ai = 0 para todo i y, por tanto, tambi´enb i = 0 para todo i. Si A = 0 podemos poner
0 ≤ Ax2 + 2Bx + C = A x +
Toc

B
A

2

+

AC − B2
A

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Doc

Doc

Secci´
on 1: Distancias

5

para todo x ∈ R. El segundo miembro es m´ınimo si x = − BA y si lo sustituimos en la
expresi´on anterior
AC − B2
0≤
implica AC − B2 ≥ 0
A
y, por tanto, B2 ≤ AC.

1.1. Ejemplos de distancias
Veamos ahora algunos ejemplos m´as de distancias.
Ejemplo 3.2.Sea X = R2 . Para los puntos x = (x1 , x2 ) e y = (y1 , y2 ) se definen las
aplicaciones:
d1 (x, y)
d2 (x, y)
d∞ (x, y)

= |x1 − y1 | + |x2 − y2 |,
=
=

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2 ,
m´
ax(|x1 − y1 |, |x2 − y2 |).

Las tres aplicaciones son distancias en el plano (una demostraci´on de esto la proporcionaremos en el siguiente ejemplo). Las funciones anteriores miden la distancia de una
forma distinta yen el siguiente gr´afico se puede ver c´omo funciona cada una ellas (en
color azul se indica el segmento o poligonal que da la distancia):

Toc

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Doc

Doc

Secci´
on 1: Distancias

6

y

y

y
y

x

x

x

x

d1 (x, y)
d2 (x, y)
d∞ (x, y)
d∞ (x, y)
Las tres distancias son generalizaciones de la distancia que hemos definido en R y las
tres tienen nombre propio: d 1 se llama la distancia...