topologia calculo 3

Nociones b´
asicas de la topolog´ıa general (repaso)
Objetivos. Repasar las definiciones b´asicas de la topolog´ıa general: las vecindades de un
punto, el interior y la cerradura (clausura) de un conjunto, funciones continuas.
Requisitos. Operaciones con conjuntos y sus propiedades, espacios m´etricos.
1. Definici´
on (espacio topol´
ogico). Escribir la definici´on del espacio topol´ogico. Sea
Xun conjunto y sea τ una colecci´on de subconjuntos de X. Se dice que τ es una topolog´ıa
en X si . . . .
2. Definici´
on (conjunto cerrado). Sea (X, τ ) y sea F ⊂ X. El conjunto F se llama
cerrado (respecto a la topolog´ıa τ ) si X \ F ∈ τ .
3. Definici´
on (vecindad de un punto, seg´
un Hausdorff ). Sea (X, τ ) un espacio
topol´ogico, sea A ⊂ X y sea x ∈ X. Se dice que A es una vecindad ovecindad abierta del
punto x si x ∈ A y A ∈ τ .
4. Definici´
on (vecindad de un punto, seg´
un Bourbaki). Sea (X, τ ) un espacio
topol´ogico, sea B ⊂ X y sea x ∈ X. Se dice que B es una vecindad del punto x si existe
un A ∈ τ tal que x ∈ A y A ⊂ B.
5. Observaci´
on. La definici´on de Bourbaki es m´as general que la de Hausdorff. Nosotros
vamos a seguir la definic´on de Hausdorff.

Ejemplos de espaciostopol´
ogicos
6. Sea X = {1, 2} y sea τ = {∅, {1}, {1, 2}}. Entonces (X, τ ) es un espacio topol´ogico.
7. Topolog´ıa de un espacio m´
etrico. Recuerde c´omo se define la topolog´ıa inducida
por una m´etrica.
8. Dos definiciones equivalentes de la topolog´ıa can´
onica del eje real. Demuestre
que las siguientes topolog´ıas de R coinciden:
τ1 es la topolog´ıa inducida por la m´etrica d(x, y) := |x −y|.
τ2 consiste en todos los intervalos abiertos de la forma (a, b), donde a, b ∈ R, a < b,
y sus uniones (finitas e infinitas).

Nociones b´asicas de la topolog´ıa general (repaso), p´agina 1 de 4

Puntos interiores y el interior de un conjunto
9. Definici´
on (punto interior de un conjunto). Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico, sea
Y ⊂ X y sea x ∈ X. Se dice que x es un punto interior de Y siexiste un A ∈ τ tal que
x∈A y A⊂Y.
10. Criterio del conjunto abierto. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico y sea Y ⊂ X.
Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) Y ∈ τ ;
(b) todo punto x de Y es un punto interior de Y .
11. Definici´
on (el interior de un conjunto). Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico y
sea Y ⊂ X. El conjunto de todos los puntos interiores de Y se denota por intτ (Y )o
simplemente por int(Y ) y se llama el interior de Y (respecto a la topolog´ıa τ ).
12. Propiedad principal del interior de un conjunto. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico y sea Y ⊂ X. Entonces int(Y ) es el abierto m´as grande contenido en Y , esto
es:
1. int(Y ) ∈ τ , int(Y ) ⊂ Y .
2. Si A ∈ τ y A ⊂ Y , entonces A ⊂ int(Y ).
13. Interior de un conjunto como la uni´
on de todos los abiertoscontenidos en
este conjunto. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico y sea Y ⊂ X. Entonces
int(Y ) =

(τ ∩ 2Y ) =

A.
A∈τ : A⊂Y

Algunos autores usan la u
´ltima igualdad como la definici´on de int(Y ).

Nociones b´asicas de la topolog´ıa general (repaso), p´agina 2 de 4

Puntos de adherencia y la clausura de un conjunto
14. Definici´
on (puntos de adherencia). Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico, sea Y ⊂X
y sea x ∈ X. Se dice que x es un punto de adherencia de Y (respecto a la topolog´ıa τ ) si
para toda vecindad V del punto x la intersecci´on V ∩ Y no es vac´ıa.
15. Criterio del conjunto cerrado. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico y sea Y ⊂ X.
Entonces las siguientes condiciones son equivalentes:
(a) Y es cerrado;
(b) todo punto de adherencia de Y pertenece a Y .
16. Definici´
on (clausura de unconjunto). Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico y sea
Y ⊂ X. La clausura (o cerradura) de Y respecto a la topolog´ıa τ se define como el
conjunto de todos los puntos de adherencia del conjunto Y respecto a la topolog´ıa τ .
Notaci´on: clτ (Y ) o simplemente cl(Y ).
17. Propiedad principal de la clausura. Sea (X, τ ) un espacio topol´ogico y sea Y ⊂ X.
Entonces cl(Y ) es el cerrado m´as grande que...