topologia

UNIVERSIDAD DE MURCIA
Departamento de Matem´ticas
a

Topolog´
ıa
7. Espacios compactos
Pedro Jos´ Herrero y Pascual Lucas
e
Resumen: Tras las primeras propiedades analizamos c´mo son los
o
subconjuntos compactos de la recta real y del espacio eucl´
ıdeo Rn .
Posteriormente nos centramos en los espacios m´tricos, lo que nos
e
conduce, a trav´s de la compacidad por punto l´
eımite, hasta el teorema
de Heine-Borel-Lebesgue. Finalizamos estudiando la relaci´n entre la
o
compacidad y las funciones continuas, y probando que la compacidad
est´ caracterizada por la propiedad de la intersecci´n finita.
a
o

c 2002 plucas@um.es
Actualizado el 18 de febrero de 2002

Versi´n 0.2
o

Indice general
1. Compacidad
2. Subconjuntos compactos
3. Compactos en R y Rn
3.1.Compactos en R
3.2. Compactos en Rn
4. Compactos en un espacio m´trico
e
4.1. Espacios sucesionalmente compactos y totalmente acotados
5. Compacidad por punto l´
ımite
6. El teorema de Heine-Borel-Lebesgue
• El caso de Rn
7. Compacidad y funciones continuas
7.1. Compacidad y continuidad uniforme
8. Propiedad de la intersecci´n finita
o
9. Problemas propuestos
Soluciones de losejercicios
Soluciones de las cuestiones

Secci´n 1: Compacidad
o

3

Mientras que la noci´n de conexi´n que hemos introducido y estudiado en el Cap´
o
o
ıtulo
6 es muy f´cil de presentar, por lo que nos resulta bastante familiar e incluso intuitiva, la
a
noci´n de compacidad no nos es tan cercana ni natural. La estandarizaci´n del concepto
o
o
de compacidad tard´ muchos a˜os enproducirse. Desde principios del siglo pasado se
o
n
fueron introduciendo distintas definiciones de compacidad, que pretend´ extender a
ıan
espacios topol´gicos arbitrarios alguna propiedad conocida de los intervalos cerrados
o
[a, b] de la recta real que era crucial en la demostraci´n de ciertos teoremas, tales como
o
el teorema del valor m´ximo y el teorema de la continuidad uniforme. Surgieronas´ los
a
ı
distintos “tipos” de compacidad: compacidad numerable, compacidad por punto l´
ımite,
compacidad secuencial, etc. Posteriormente, los matem´ticos asumieron que era posible
a
encontrar una definici´n en t´rminos m´s d´biles y generales; de hecho, en t´rminos de
o
e
a e
e
cubrimientos del espacio por conjuntos abiertos.

1. Compacidad
Definici´n 7.1 Sea X un conjunto y sea S ⊂X. Un cubrimiento de S es una familia
o
A = {Ai }i∈I de subconjuntos de X tales que S = ∪i∈I Ai . Un subcubrimiento es una
subfamilia B ⊂ A que es tambi´n un cubrimiento de S. Un cubrimiento se dice que es
e
finito si est´ formado por una cantidad finita de conjuntos. Cuando (X, T) es un espacio
a
topol´gico y cada A i es un abierto de X, se dice que A es un cubrimiento abierto de
o
S.
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Doc

Doc

Secci´n 1: Compacidad
o

4

Ejemplo 7.1. Sea X = R, entonces la familia A = {[−n, n]}∞ es claramente un
n=1
cubrimiento de S = R, pero no es un cubrimiento abierto en la topolog´ usual. Un
ıa
ejemplo de un subcubrimiento de A ser´ D = {[−2n, 2n]}∞ . La familia {(−n, n)}∞
ıa
n=1
n=1
tambi´n es un cubrimiento, esta vez abierto, de R, pero no es unsubcubrimiento de A.
e
Definici´n 7.2 Un espacio topol´gico (X, T) se dice que es compacto si todo cubrio
o
miento abierto de X admite un subcubrimiento finito.
Ejemplo 7.2. La recta real R no es compacta, pues el cubrimiento de R por intervalos
abiertos
A = {(n, n + 2) | n ∈ Z}
no contiene ning´n subcubrimiento finito que cubra R.
u
Ejemplo 7.3. El siguiente subespacio de R es compacto:
X = {0} ∪{1/n | n ∈ N}.
Para todo cubrimiento abierto A de X, existe un elemento U de A que contiene al 0.
El conjunto U contiene a todos los puntos de la forma 1/n excepto a un n´mero finito
u
de ellos; elijamos para cada uno de estos puntos que no est´n en U un elemento de A
a
que los contenga. La colecci´n de estos elementos de A, junto con el propio U, es un
o
subcubrimiento finito de A que...