topologia

Problema: Deje

un espacio topológico, y mucho

existe un conjunto abierto

que contiene

tal que

Demostración: Por lo tanto, sabemos que para cada
que

y así

. Supongamos que para cada uno
. Demostrar que

es abierto.

existe alguna abierta

tal

. Claramente

es la unión de conjuntos abiertos, y por lo tanto abierto.

2.
Problema: Considerar los nueve topologíasen el set

que se indican en el ejemplo 1 de

la sección 12 compararlas.
Demostración: Esto es increíblemente laborioso que escribir, y realmente no es tan difícil, por lo que
omiten.
3.
Problema: Demostrar que la colección
set

dada en el ejemplo 4 de la sección 12 es una topología en el

. Es la colección

una topología en

?

Demostración: Esto

es sólo la topologíacocountable. Podemos ver que

complemento es todo

. También,

cuenta de que si

es un subconjunto no vacío de

y así el complemento de
contable. Del mismo modo, si

y así el complemento de
contable, así

desde

, ya que de

que es finito. Además, nos damos
que

es un subconjunto de un conjunto numerable y por lo tanto
a continuación,

es la unión finita de conjuntos numerables,y por lo tanto
. De ello se desprende que

en realidad es una topología en

Ahora,

no es una topología en cualquier conjunto infinito. Para ver este let

dejar

ser infinito y

ser cualquier surjection. Entonces, podemos ver que

y

estamos en

su intersección, pero es

que no está en

4.
Problema:

a) Si
sobre

es una familia de topologías sobre
. ¿Es

b) Que, muestran que

es una topología

?
sea una familia de topologías sobre

única en $ laetx X $ contiene todas las colecciones

. Demostrar que hay una topología más pequeña
y una topología más grande único en

contenido

en toda la
c) Si

deja

y

la topología más pequeña que contiene

. Encuentra

y el mayor topología contenida en

Prueba:
a) Es evidente que ya
sipara todos los

a continuación,

una topología se deduce que
si

que tenemos que
para cada

para cada

tenemos que

. Pero, ya que cada uno
y así

. Pero, ya que estos son

para cada

y así

b) Para demostrar que existe una topología única que contiene todos los

En primer lugar, observamos que

Es claro entonces que

no está vacío ya

. Más formalmente,

que

.Además, dada una topología

para que

. Además, si

definimos

. Por lo tanto, dejar que

es una topología que contiene toda la

contiene debe contener

es

. Por último,

por cada

topologías esto implica que

. Ahora bien,

, y cualquier otra topología que los

es una topología de

tal manera

que contiene cada

vemos que

fuera otra topología más pequeña quecontiene toda la

's que tanto

las inclusiones

y

y así

, de donde se deduce que el más pequeño tal topología

es único.
Usando la misma lógica exacta, la topología más pequeña que figura en todos los
es

's

.

c) Se puede comprobar que
y

es la topología más pequeña que contiene los dos

es una topología, y por lo tanto los más pequeños figuran en ambos.

5.Problema: Demostrar que si
generada por
es cierto si

igual a la intersección de todas las topologías en

el conjunto de todas las topologías en

la topología generada por

tenemos que

. Es evidente que ya

y dejar

que contiene

desprende que

, a saber, que está en su intersección

. De ello se

ser una subbase y

la topología generada por

.

es una topología sobre

, acontinuación,

significa que

está contenido en

, según se desee.

Ahora, vamos a

Claramente

que contiene

debemos tener

(ya que está cerrada bajo uniones arbitrarias). Por lo tanto,

todas las topologías que son superconjuntos de

que contiene

de alguna topología

las garantías que
en

que contiene

. Por el contrario,
. Pero, esto, entonces

no puede haber...