Trabajo De Logica

TALLER DE LOGICA


1R/=

TEOREMA 15
Cada subconjunto de U (conjunto universal) es el conjunto de verdad de una función proposicional.

Demostración:
Sea A un subconjunto de U. Entonces A es el conjunto de verdad de la función proposicional , y por lo tanto x A.
El teorema 15 quita la restricción de que P, Q, R sean conjuntos de verdad.


TEOREMA 16
Para todo P, Q, y R que sean subconjuntos deU, se cumple:

Demostración:
Se parte de la siguiente tautología
[p À (q À r)] ÿ [(p À q) À r].
Se sustituyen las variables de esta tautología por funciones proposicionales, y se obtiene la siguiente función proposicional, que es verdadera para todo U
[À()]þ[(. (1)
Por lo tanto
{x| À ()} = {x|}.
Se aplica el teorema 1, se obtiene:
{x| À ()}=P.
Y se sabe que:
{x|} = (P.
Por lotanto de (1), se obtiene:
P.


TEOREMA 17
Si dos fórmulas con proposiciones p, q, r, etc. son equivalentes, y contienen únicamente operadores À, Á, y , entonces se obtiene una relación verdadera en los subconjuntos arbitrarios: P, Q, R, etc. de U, remplazando a p por P, a q por Q, a r por R etc. a À por ,a por ’, y a ÿ por =.


TEOREMA 18

Para demostrar este teorema se debe demostrarque si Pes falso, entonces es falso y además que si es falso, entonces Pes falso.

Se supone inicialmente que Pes falso. Entonces hay un x para el que es verdadero y q(x) es falso. Para tales x es falso y por lo tanto es falso.

Recíprocamente si se supone que es falso, entonces existe algún x para el que es falso, la existencia de este x demuestra que Pes falso.



2 R/=
Un teoremaespecífico es el que establece alguna propiedad de un objeto particular, tal como 7 es un número primo, o 3,1416 es un valor aproximado de π
Un teorema general expresa, una relación que es verdadera para todos los miembros del conjunto de objetos establecido, tal como: dados dos números reales cualesquiera a y b, se verifica que a +b = b +a; los ángulos básicos de un triángulo isósceles son iguales.3 R/=
Se le conoce como el método de la hipótesis auxiliar o demostración condicional. .

Si una proposición P es verdadera en una teoría, se puede demostrar que otra proposición es verdadera, mediante una argumentación lógica que utilice las premisas disponibles de la teoría.

La metodología utilizada es la siguiente:
a. se supone verdadera la proposición P (antecedente o hipótesisauxiliar)
b. se construye a partir de la hipótesis, una argumentación lógica(válida) que utiliza los axiomas y teoremas de la teoría, para obtener mediante las reglas de validez y de inferencia, la validez de Q
c. en este momento concluye la demostración, y se establece la validez de

En la aplicación del método directo, es recomendable tener en cuenta los siguientes aspectos:

a. el método directo seaplica a la demostración de teoremas correspondientes a una implicación, más sin embargo no siempre se puede alcanzar la conclusión que se pretende, y por ello se utilizan otros métodos.

b. se puede fundamentar de una manera intuitiva la validez del método, en el hecho de que la implicación es falsa únicamente en el caso en el cual partiendo de un antecedente verdadero se llega a unaconclusión falsa, por ello cuando se asume verdadero el antecedente y si la implicación cumple con las reglas de validez y de inferencia, entonces necesariamente la conclusión es verdadera.

c.es importante tener presente, que al aplicar este método, no se determina la validez absoluta del consecuente Q, sino su validez relativa, ya que se asume como verdadero el antecedente P.

d.se recomienda comoestrategia, que si la conclusión deseada de un razonamiento es una proposición condicional, se agregue el antecedente como nueva premisa, y se traslada la demostración varios lugares hacia la derecha para finalmente tratar de deducir el consecuente del conjunto original de premisas, más la premisa agregada (hipótesis auxiliar); si esto es posible queda validada la proposición condicional.

e....