Trabajo Optimizacion

1. Descomponer el número e en dos sumandos positivos de forma que la suma de los logaritmos neperianos de los sumandos sea máxima. Calcular dicha suma.

Condición: x+y = e, de donde tenemos que y = e-x
Función: S(x,y) = ln(x) + ln(y)
S(x)= ln(x) + ln(e-x)
[pic]
[pic]
luego, tenemos que es máximo.
La suma pedida será:[pic].
Solución: x = e/2 y la suma S =2-2ln2

2.Calcula dos números que cumplan que al sumarlos resulte 10 y la resta de uno de ellos menos el inverso del otro sea mínima.

Condición: x + y = 10, de donde y = 10-x
Condición: x + y = 10, de donde y = 10-x
La función:
[pic]
[pic][pic][pic]
[pic]
[pic]
[pic]
[pic]
Solución: x = 11, y = -1

3. En un concurso se da a cada participante un alambre de dos metros de longitud para quedoblándolo convenientemente hagan con el mismo un cuadrilátero con los cuatro ángulos rectos. Aquellos que lo logren reciben como premio tantos euros como decímetros cuadrados tenga de superficie el cuadrilátero construido. Calcula razonadamente la cuantía del máximo premio que se pueda obtener en este concurso.


A(x, y) = x·y (Función Objetivo)
Condición: 2x+2y = 2


Condición:2x+2y = 2 ( x+y = 1 ( y =1-x

Función Objetivo: A(x, y) = x·y ( A(x)= x·(1-x) = x-x2

A´(x)=1-2x

A´(x) = 0 ( 1-2x = 0 ( x =1/ 2 m.

A´´(x) = -2 ( A´´(1/2) = -2 < 0 (es un máximo)


Solución: x = 5 dm. e y = 5 dm., siendo Área = 25 dm2.

Cuantía máxima a percibir por elpremio = 25 €.


4. Un jardinero dispone de 160 metros de alambre que va a utilizar para cercar una zona rectangular y dividirla en tres partes. Las alambradas de las divisiones deben quedar paralelas a uno de los lados del rectángulo. ¿Qué dimensiones debe tener la zona cercada para que su área sea la mayor posible?



A(x, y) = x·y (Función objetivo)
Condición: 2x+4y = 160Condición: 2x+4y = 160 ( y =[pic]
Función: A(x, y) = x·y
A(x) = x·[pic]= 40x-[pic]
A´(x) = 40-x ( A´(x) = 0 ( x = 40 m.

A´´(x) = -1 < 0 (el punto es un máximo)

Para x = 40 m. resulta y =[pic] ( y = 20 m.

Solución: x = 40 m, y = 20 m.


5. Se dispone de 400 metros de alambrada para vallar un solar rectangular. ¿Qué dimensiones deberá tener el solar paraque con esa alambrada se limite la mayor área posible? Razonar el proceso.


Función: A(x, y) = x·y
Condición: 2x+2y =400


Condición: 2x+2y =400 ( x + y =200 ( y = 200-x

Función: A(x, y)=x·y

A(x) = x·(200-x) = 200x-x2

A´(x) = 200-2x ( A´(x) = 0 ( x = 100 m

A´´(x) = -2 < 0 ( x = 100 es un máximo, siendo y =200-100=100

Solución: x = 100 e y = 100, es un cuadrado


6. Un terreno de forma rectangular tiene 400 m2 y va a ser vallado. El precio del metro lineal de valla es de 4 euros. ¿Cuáles serán las dimensiones del solar que hacen que el costo de la valla sea mínimo?

Perímetro del vertedero: P = 2x+2y

Coste cerca: 4·P = 4(2x)+4(2y) =8x+8y (función objetivo)


Condición: x·y = 400


Condición: x·y = 400 ( y =[pic]

Coste cerca: C(x, y) = 8x+8y

C(x) = 8x+8[pic] = 8x+[pic]
C´(x) = 8-[pic]( C´(x) = 0 ( x2=400 ( x = ± 20; Solución válida x = 20 m.
C´´(x) = 3200·[pic] ( C´’(20)= 0.8 > 0 Es un mínimo
Para x =20 m., siendo y =[pic] ( y = 400/20 = 20 m.

Solución: Las dimensiones del solar son cuadradas con x = 20m. e y = 20m.


7. Supongamos que el solar del problema anterior tiene 200 m2 y un lado a lo largo del río requiere una valla más costosa de 5 euros el metro lineal. ¿Qué dimensiones darán el costo más bajo?

Función: C(x, y) = 4·(2x) + 4y + 5y...