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Ecuaciones polinómicas 041

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ECUACIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES
Ya hemos estudiado ecuaciones del tipo:
a x + b = 0 a ≠ 0 (ecuaciones lineales)
a x2 + b x + c = 0 a ≠ 0 (ecuaciones cuadráticas)
Estas ecuaciones son casos particulares de ecuaciones de carácter más general, las llamadas
ecuaciones polinómicas.
Para estudiar estas ecuaciones será necesariointroducir previamente algunos conceptos.

POLINOMIOS
Llamamos polinomio a toda expresión de la forma
an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0
donde n ∈ N0

y an , an-1 , ... , a1 , a0 son números reales, que denominamos coeficientes.

El polinomio cuyos coeficientes son todos ceros recibe el nombre de polinomio nulo.
Si an ≠ 0 , decimos que el polinomio tiene grado n y an es el coeficienteprincipal. El coeficiente
a0 recibe el nombre de término independiente.
El polinomio nulo carece de grado.

Ejemplo: 4 x5 + 3 x4 - 2 x3 -

1
x + 1 es un polinomio
2

Coeficientes

→

Grado

→

5

Coeficiente principal

→

4

Término independiente

→

1

4 , 3 , -2 , 0 , -

1
,1
2

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Es posible asociar a cadapolinomio
an xn + an-1 xn-1 + ... + a1 x + a0
una única función
n
n-1
p: R → R definida por p(x) = an x + an-1 x + ... + a1 x + a0 , y recíprocamente, a cada
función de esta forma es posible asociar un polinomio. Llamamos a la función p(x), función
polinómica.
Bajo esta identificación hablamos indistintamente de polinomios o funciones polinómicas.

Operaciones con Polinomios
A continuaciónmostraremos como se pueden realizar las operaciones básicas de suma, resta,
multiplicación y división entre polinomios.

Suma:
Calculamos la suma de los polinomios p(x) = 3 x2 + 2 x + 1 y q(x) = 5 x3 - 7 x + 8 .
Una forma práctica de realizar esta operación es ordenar los polinomios y escribir uno debajo del
otro. Si falta algún término intermedio en algún polinomio, lo completamosescribiendo dicho
término con coeficiente 0.
p(x) =

0 x3 + 3 x2 + 2 x + 1

q(x) =

5 x3 + 0 x2 - 7 x

+ 8

5 x3 + 3 x2 - 5 x

+ 9

+

p(x) + q(x)

=

Resta:
Calculamos ahora la resta de los polinomios p(x) = x5 + 2 x4 - 7 x3 + 8 y q(x) = x5 + 5 x4 - 4 x2 + 5.
Como antes para operar es conveniente ordenar los polinomios y escribir uno debajo del otro.
p(x) =

x5

+ 2 x4 - 7 x3q(x) =

x5

+ 5 x4

+8

–

p(x) – q(x)

=

- 4 x2

- 3 x4 - 7 x3 + 4 x2

+5
+3

Observemos que obviamos los términos con coeficiente nulo, siempre supondremos que los
términos faltantes tienen coeficiente 0.
El resultado de la suma o la resta de dos polinomios puede ser el polinomio nulo o tener grado
menor o igual que el del polinomio de mayor grado que estamos sumandoo restando.
grado (p ± q) ≤ máx (grado p , grado q)

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Producto:
Para calcular el producto de dos polinomios multiplicamos cada uno de los términos de un
polinomio por cada uno de los términos del otro y sumamos. Para multiplicar los polinomios
p(x) = 7 x3 - 5 x + 2 y q(x) = 2 x2 + 5 x - 1 , una disposición práctica es la siguiente:7 x3

-5x

+2

2 x2

x

+5x

-1

- 7 x3
35 x
14 x

5

4

2

3

- 10 x

- 25 x
+ 4 x2

+5x -2
+ 10 x

14 x5 + 35 x4 - 17 x3 - 21 x2 + 15 x - 2
Observemos que cuando se multiplican dos polinomios no nulos el resultado es un polinomio cuyo
grado es igual a la suma de los grados de los polinomios factores.
grado (p . q) = grado p + grado q
División:
Recordemosque para números enteros podemos realizar el algoritmo de Euclides para la división,
así, si queremos dividir 7 por 4 obtenemos

Dividendo

7

4

divisor

Resto

3

1

cociente

Se verifica que 7 = 4 . 1 + 3 , y el resto es siempre menor que el divisor.
Es posible realizar la división de polinomios en forma análoga a ésta.
Ejemplo: Hallar el cociente y el resto de la división...