Tralaciones

Translación de ejes
Cambio de los ejes de referencia sin girarlos, de manera que cada eje permanece paralelo a su posición original. Una vez que el origen de un sistema de ejes x e y se cambia al punto O´(xo, yo) en el sistema original, es necesario dar a cada punto p(x, y) en el sistema original un nuevo conjunto de coordenadas p´(x´, y´) en el nuevo sistema, de acuerdo con las siguientesrelaciones:
x = x´ + xo
y = y´ + yo
El propósito de tal traslación de ejes es simplificar la ecuación de una curva para procesamiento posterior. Por ejemplo, un círculo con centro en (1, 2) y un radio r = 3, se puede describir por medio de la siguiente ecuación:
(x - 1) 2 + (y - 2) 2 = 32
Cuando los ejes de referencia se cambian a O´(1, 2), el mismo círculo se puede describir como:
[(x´+1) -1] 2 + [(y´+2) - 2] 2 = 32
o
(x´) 2 + (y´)2 = 32
Como se muestra, es definitivamente más fácil trabajar con la ecuación en el nuevo sistema.

Rotación de ejes
Cambio de la orientación de los ejes de referencia mientras se conserva el origen. La principal razón para rotar los ejes es que una ecuación dada es mucho más simple en el nuevo sistema de coordenadas que en el sistema original.
Si losejes originales x y y rotan en sentido contrario al reloj un ángulo , para cualquier punto P(x, y), las coordenadas originales (x, y) se convierten en las nuevas coordenadas (x´, y ´), que son:
x ´ = x cos  + y sen 
y´ = - x sen  + y cos 
Para derivar la ecuación en las nuevas coordenadas, necesitamos expresar las coordenadas originales en las nuevas coordenadas:
x = x ´ cos  - y ´ sen 
y = x ´sen  + y cos 
Como ejemplo de rotación, considera una ecuación simple y = x + 21/2, que es una línea. Si los ejes originales x e y rotan en sentido contrario al reloj un ángulo de 45°, las coordenadas originales se pueden expresar como:
x = x ´ cos 45° - y ´ sen 45°
y = x ´ sen 45° + y ´ cos 45°
Por lo tanto,
x = x ´ (21/2/2) - y ´ (21/2/2)
y = x ´ (21/2/2) + y ´ (21/2/2)
Entonces, laecuación y = x + 21/2 se convierte en:
x ´ (21/2/2) + y ´ (21/2/2) = x ´ (21/2/2) - y ´ (21/2/2) + 21/2
y ´ = 1
En las nuevas coordenadas, la ecuación es una línea paralela al eje x ´, +1 unidad separada del eje x ´.

EJERCICIOS DE TRASLACION DE EJES

PROBLEMA # 1
Para la traslación de ejes transforma la ecuación:
9X2-16X2+90X+192Y-495=0
RESOLUCION:
TRASLADANDO EL ORIGEN O(0,0) AL NUEVOORIGEN O´(H, K)SE TENDRA
X=X´+H Y Y=Y´+K
9(X´+H)2-16(Y´+K)2+90(X´+K)+192(Y´+K)-495=0
9(X´)2-16(Y´)2+18(K+5)X´-32(K-6)Y´+{90H+192K+9H2-16K2}=495
CUANDO EL ORIGEN ES EL PUNTO ´(-5,6) LA ECUACION ES:
9(X´)2-16(Y´)2=144:

PROBLEMA # 2
Hallar la ecuación en el que la función : ax+by+c=0 es transformada , si el origen es trasladado al punto (bh, ab- c/b)
Resolución:
X=x´+bh; y y=y´-ah-c/b
A(x´+bh)+b(y´-ah-c/b)+c=0
La ecuación correspondiente a o´es: ax´+by´=0

Problema # 3
La ecuación: (X)2-2(Y)2=4 esta referida al sistema x´ o´ y´ de coordenadas. Hallar la ecuación referida al sistema x o y sabiendo que la distancia entre los orígenes de coordenadas es √17y que las coordenadas del nuevo origen es 1.
Resolución:
O´(h,1) y d(0,0)= √17
h-0+1-0=√17
h±4x=x´+h y=y´+1
y=y´+1 (x – 4)2-2(y-1)2=4
x2-2y2-8x+4y+10=0

Problema # 4
Transformar la ecuación dada trasladando los ejes coordenados al origen o´(2,3)
Resolución
Sabemos que : x=x´+2 ; y=y´-3
Ecuación original (x´+2)2+( y´-3)2-4(x´+2)+6(y´-3)-5=0
(x´)+(y´)+4+9-8-18-5=0
(x´)2+( y´)2=18 (x´)+( y´)=√18

Problema # 5
Transformar la ecuación trasladando los ejescoordenados al nuevo origen o´ (-3,1).
X2-4y2+6x+8y+1=0
X=x´-3 ; Y=y´+1
(x´-3 )2 -4(y´+1 )2 +6(x´-3 )+8(y´+1)+1=0
x2 -4(y´ )2 +9-4-18+8+1=0
(x´)2 -4(y´ )2 =4

http://trigonometriatotal.blogspot.mx/2011/12/transformacion-de-coordenadas-rotacion.html

EJERCICIOS DE ROTACION

PROBLEMA # 1
Rotar los ejes un alguno de 60° y hallar las coordenadas de los puntos dados con...