Tranformacion

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Transformaciones lineales:

Se denomina transformación lineal, función lineal 0 aplicación
lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface, paracada u y v en V y cada escalar ∝,
  1. T (u+v)= Tu+Tv
  2. T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.

Ejemplo:

Sea L : p1 →p2 definida como L (at +) = (at + b )
Mostraremos que L es una transformación lineal.

Solución:

Sea: at + b y+ cT + d vectores en p1 y sea k un escalar, entonces.

L [ ( at + b ) + (ct + d ) ] = T [ ( at + b ) + (ct + d )]
= T (at + b) + T (ct + d )
= L (at + b) +L ( ct + d )

Y

L [ k ( at + b ) ] = T [ k ( at + b ) ] = K [t (at + b ) = KL ( at + b )

Por lo tanto L es una transformación lineal

Propiedades de las transformaciones lineales:

Teorema 1:

T : V --> W es una transformación lineal si y solo si para todos los vectores v1 y v2 , € V , y todos los escalares c 1 y c 2 , se cumpleT ( c 1v1 + c 2 v2 ) = c 1 T( v1 ) +c 2 T ( v2) |

Es decir: si T es lineal, entonces
T (c 1 v1 + c 2 v2 ) = T (c 1 v1 ) + T ( c 2 v2 )
= c 1 T ( v1 ) + c 2 T ( v2 )
A la inversa, si T es una transformación tal que T ( c 1v1 + c 2 v2 ) =
c 1 T( v1 ) + c 2 T ( v2) para todos v1 , v2 € R, entonces si igualamos c 1 = c 2 = 1 obtenemos la parte 1 de la definición y haciendo c 2 = 0 se obtiene la parte 2.
Entérminos generales, si v1 ,…, vn son vectores cualquieras en V,y c 1 ,…,c n son escalares cualquieras , entonces T (c 1v 1+…+c n v n )= c 1T (v 1)+…+c nT ( v n).
Así, las combinaciones lineales mapean una combinación lineal de vectores en la misma combinación lineal de las imágenes de esos vectores.

Teorema 2

T : V---> W es una transformación lineal . EntoncesT ( 0 ) = 0;T ( u –v ) = T (u) – T (v). |

Es decir;
Siguiendo la parte 1 del teorema 2.

T (0) = T (0v)= 0 T (v) = 0

Siguiendo la parte 2 del teorema 2,
Según el teorema 1, haciendo que c 1 = 1 y c 2 = -2,
T (u – v) = T (1u + (–1) v)= 1T (u) + (-1) T (v) = T (u) – T (v)

Ejemplo 1

¿Es f : R2 -> R2 una transformación lineal , definida por f( x,y) = (x,1)?
Solución:
Si f fuera lineal,entonces f (0,0) seria (0,0).sin embargo, f (0.0) = (0,1), de modo que f en no lineal

La transformación 0 : V -> W que mapea a todos los vectores de V en 0 en W se le llama transformación cero.
0(v)=0 para todo v € V

Ejemplo 2

Compruebe que la transformación 0: V -> W es lineal.

Solución:
Si u y v son vectores de V y c es un escalar, entonces
0(v+u) = 0= 0+0(v)+0(u)
0(cv) = 0=c0=c0 (v)
La transformación 1: V ->V que convierte cada vector de V en si mismos y se llama transformación identidad de V.
I (v)=v para todo v €

Ejemplo 3

Compruebe que la transformación T: P2 ->P1es lineal.
T(a +bx +cx2) = b+2cx

Solución

Sean p1 = a1+b1x+c1x2 y p2 = a2+b2x+c2x2. Entonces
T ( p1 + p2 )= T ( (a1 + a2) + (b1 + b2 )x + (c1 + c2)x2)
= ( b1 + b2 )+2 (c1+c2 )x
=(b1 + 2c1x)+ (b2 + 2c2x)
= T (p1)+ (p2)

Imagen de una transformación lineal

La imagen de una Transformación Lineal se denota im L. Es el conjunto de vectores en W que son imágenes, bajo L, de vectores en V.
Así, un vector W esta en im L si podemos encontrar algún vector v en V tal que L z8 v z9 = W si im L = W, decimos que L es sobre
Es decir La imagen de una transformación linealestá formada por el conjunto de todos los vectores del condominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
Para determinar si L es imagen, elegimos cualquier vector y = ( y1, y2 ) en R2 y buscamos un vector = ( x1,x2,x3 )en R3 . Tal que L (x) = y. Como l ( y) = ( x1,x2 ) , vemos que si x1 = y1 y x2 = y2 , entonces l ( x) = y por lo tanto l es imagen y la dimensión de im L es 2 ....