Tranformada de laplace vigas

Docencia

La transformada de Laplace
como aplicaci´n en la
o
resistencia de materiales
Agust´ Pacheco C´rdenas∗
ın
a
y
Javier Alejandro G´mez S´nchez∗∗
o
a
∗

Facultad de Ingenier´ UAQ; Depto. Ciencias
ıa,
B´sicas, ITQ
a
∗∗
Facultad de Ingenier´ UAQ
ıa,
agosto de 1998
resumen

Se aplican las t´cnicas m´s elementales de transformadas de Lae
a
place a la soluci´n deecuaciones diferenciales no homogeneas para
o
encontrar la ecuaci´n de la el´stica de una viga, as´ como las ecuao
a
ı
ciones del momento flexionante y la fuerza cortante en cualesquiera
puntos de ella.
Planteamiento del problema

Queremos determinar la ecuaci´n de la curva que adoptar´ el eje neutro de
o
a
una viga sometida a la acci´n de cargas externas a ella.
o
Ampliando el segmento ∆mostrado en la figura 1, sea O el centro de
curvatura de la curva E C y ρ = O E el radio de curvatura (figura 2).
Sabemos que el radio de curvatura viene dado por la expresi´n
o

· • • • • •
· • · · · •
• • · · · ·

dy
1+
dx
ρ=
d2 y
dx2

2 3/2

(1)

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

FIGURA 1.

FIGURA 2.

y es la ecuaci´n de la el´stica.
o
a
En la figura 2consideramos las hip´tesis que se establecen en los curo
sos de resistencia de materiales para este tipo de problemas: elasticidad,
homogeneidad, secci´n constante, etc´tera.
o
e
Tracemos D D paralelo a B B y E E paralelo a C C. Entonces los tri´na
gulos C CO y EE C son tri´ngulos semejantes y, por lo tanto, sus lados
a
hom´logos son proporcionales. Podemos establecer la siguiente relaci´n:
oo
EE
CC
=
;
CE
CO
como EE = δ, la deformaci´n que sufri´ la fibra situada a una profundidad
o
o
y del eje neutro,
CE = y,
tendremos:

C C = ∆s,

CO = ρ,

δ
∆s
=
.
y
ρ

De aqu´
ı,
y
δ
= .
∆s
ρ
Si designamos (δ/∆s) =

(2)

a la deformaci´n unitaria, entonces
o
=

y
.
ρ

(3)

· • • • • ·
· • · · · •
• • · · · ·

´
´
´
A. PACHECO CARDENAS Y J. A.GOMEZ SANCHEZ

Por la ley de Hooke sabemos que σ = E , donde σ es el esfuerzo a que
est´ sometida la fibra en cuesti´n y E el m´dulo de elasticidad del material
a
o
o
de que est´ hecha la secci´n, el cual suponemos constante. Por lo tanto,
a
o
σ
y
= ;
E
ρ

σ=

E
y.
ρ

(4)

FIGURA 3.

FIGURA 4.

Cortemos ahora la viga en un punto x cualquiera (figura 3), y sean Mext
elmomento producido por las fuerzas exteriores que act´an sobre la viga y
u
Mint el momento provocado por los esfuerzos internos en la viga. Si
Mint =

σy dA

(5)

y como se desea que la viga est´ en equilibrio, entonces:
e
· • • • • •
· • · · • ·
• • · · · ·

Mint = Mext ;

i .e.,

M (x) =

σy dA.

(6)

APLICACIONES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sustituyendo (4) en (6) setiene:
M (x) =
Puesto que

E
y y dA =
ρ

E 2
y dA.
ρ

y 2 dA = I es el momento de inercia de la secci´n, entonces
o
M (x) =

EI
;
ρ

(7)

sustituyendo ρ de la ec. (1), tenemos:

M (x) =

EI
=
ρ

EI

d2 y
dx2

dy
1+
dx

2 3/2

.

(8)

En la pr´ctica, los valores de dy/dx son de magnitud muy peque˜a y, sin
a
n
cometer un gran error, se puede considerarque (dy/dx)2 → 0. Por lo tanto,
la ec. (8) da el siguiente resultado:
d2 y
= M (x),
dx2
que llamaremos Primera ecuaci´n diferencial de la el´stica.
o
a
EI

FIGURA 5.

(9)

· • • • • •
· • · · • •
• • · · · ·

´
´
´
A. PACHECO CARDENAS Y J. A. GOMEZ SANCHEZ

Hagamos las siguientes consideraciones: tomemos un segmento diferencial
de la viga (figura 5) y adoptemos laconvenci´n
o

Por la

F y = 0, tenemos que −w(x)(∆x) − V + V + (∆y) = 0, de donde
∆y
= w(x),
∆x

y de

(10)

M0 = 0 se tiene −M − V (∆x) − w(x)(∆x)(∆x/2) + M + ∆M . . .
∆M
∆x
= V + w(x)
;
∆x
2

(11)

tomando ∆x → 0 en las ecs. (10) y (11) se obtienen:
dM
= V (x)
dx
dV
= w(x),
dx

y

(12)

(13)

y, de aqu´ integrando obtenemos las muy conocidas relaciones:
ı,
M (x)...