transferencia de calor

Método analítico de conducción bidimensional:



Para poder obtener una solución analítica a los problemas de conducción de calor bidimensional, se requiere la introducción del concepto de una expansión en serie de Fourier de una función, digamos f(x). Durante la solución de un problema de conducción de calor bidimensional, se llega a cierto punto en que aparecen términos seno y coseno enel lado de la derecha de un signo de igualdad, y f(x) aparece en el lado izquierdo del mismo signo de igualdad. En este punto se hace necesario expandir f(x) en una serie de Fourier con el fin de determinar coeficientes desconocidos.

Se dice que una función seccionalmente continua, univaluada, finita, y que posee un número finito de máximos y mínimos en un intervalo dado, es una funciónseccionalmente rectangular. Si f(x) es seccionalmente regular, sobre un intervalo (-L, L), entonces se puede expandir en una serie de senos y cosenos de forma.


A fin de apreciar cómo se aprovecha el método de separación de variables para resolver problemas de conducción en 2 dimensiones, consideramos el sistema de la figura. Tres lados de la placa rectangular se mantienen a una temperaturaconstante T1, mientras el cuarto lado se mantiene a una temperatura constante T1" T2. Estamos interesados en la distribución de temperaturas T(x,y), pero para simplificar la solución introducimos la transformación
"(T- T1)/( T1- T2)
Al sustituir la ecuación anterior en la ecuación (2T/x2)+ (2T/y2)=0, la ecuación diferencial transformada es:
(2/x2)+ (2/y2)=0

Y
T2, =0
W
T1, =0 T1,=0
0
X
T1, =0
Como la ecuación es de segundo orden en X y Y, se necesitan 2 condiciones de frontera para cada una de las coordenadas. Estas son
(0,Y) = 0 y (X,0) = 0
(L,Y) = 0 y (X,W) = 0
Advierta que a través de la transformación de la ecuación, tres de las cuatro condiciones de frontera son ahora homogéneas y el valor de  esta restringido al intervalo entre 0 y 1
Aplicamos ahorala técnica de separación de variables suponiendo que es posible expresar la solución deseada como el producto de dos funciones, una de las cuales depende solo de X mientras la otra depende solo de Y. Es decir, suponemos la existencia de una solución de forma
(X,Y) = X(x)*Y(y)
Al sustituir en la ecuación anterior y dividir entre XY, obtenemos
-(d2X/Xdx2) = (d2Y/Ydy2)
Y es evidente que laecuación diferencial es, de hecho, separable. Es decir, el lado izquierdo de la ecuación depende solo de x y el lado derecho solo de y. así la igualdad se aplica en general solo si ambos lados son iguales a la misma constante. Al identificar esta constante de separación -hasta ahora desconocida- como 2, tenemos
d2X/dx2 + 2X = 0
d2Y/dy2 + 2Y = 0
y la ecuación diferencial parcial se reduce a dosecuaciones diferenciales ordinarias. Advierta que la asignación de 2 como una constante positiva no fue arbitraria. Si se seleccionara un valor negativo o se eligiera un valor de 2 = 0, sería fácil demostrar que es imposible obtener una solución que satisfaga las condiciones de frontera que se establecen.
Las soluciones generales de las ecuaciones son, respectivamente,
X = C1cosx + C2senx
Y =C3e-y + C4e-y
En cuyo caso la forma general de la solución en 2 dimensiones es
 = (C1cosx + C2senx)( C3e-y + C4e-y)
Al aplicar la condición que  (0,y) = 0, es evidente que C1 = 0. Además el requerimiento que  (x,0) = 0, obtenemos
C2senx(C3 +C4) = 0
Que solo satisface si C3 = - C4. Aunque el requerimiento también podría satisfacerse con C2 = 0, esta igualdad eliminaría por completola dependencia de x y por ello proporcionaría una solución inaceptable. Si recurrimos al requerimiento (L,Y) = 0, obtenemos
C2 C4 senL(ey -e-y) = 0
La única forma de satisfacer esta condición es hacer que  tome valores discretos para los que senL = 0. estos valores deben entonces, ser de la forma
 = (n/L) n = 1,2,3,…
donde se excluye el entero n = 0 pues proporciona una solución...