Transformaciones Linelaes

Transformación Lineal


Se denomina transformación lineal, función lineal o aplicación lineal a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientescondiciones:
Transformación lineal: Sean V y W espacios vectoriales reales. Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ϵ V un vector único Tv ϵ W y que satisface,para cada u y v en V y cada escalar ∝,
T (u+v)= Tu+Tv
T(∝v)= ∝Tv, donde ∝ es un escalar.
Propiedades de las transformaciones lineales:
Sean y espacios vectoriales sobre (donde representa elcuerpo) se satisface que:
Si es lineal, se define el núcleo y la imagen de T de la siguiente manera:

Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos losvectores del dominio que tienen por imagen al vector nulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio del dominio:
1. dado que
2. Dados
3. Dados
Se denominanulidad a la dimensión del núcleo.
O sea que la imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector deldominio.
• La imagen de toda transformación lineal es un subespacio del codominio.
• El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.

una función lineal es la correspondenciaNúcleo e Imagen son subespacios:

La propiedad fundamental del núcleo y del contradominio es que ambos son espacios vectoriales:

Teorema
Sea T: V → W una transformación lineal. Entonces
•Ker (T) es un subespacio de V.
• R (T) es un subespacio de W.

Demostración
El núcleo de T es subespacio

Sean V1 y V2 elementos del núcleo de T y C un escalar cualquiera. Así T(v1) = 0 = T(v2), ypor tanto:
T (c1 v1 + c2 v2) = c1 T(v1) + c2 T(v2) = c1 0 + c2 0 = 0

probando que C1 V1 + C2 V2 está también en el núcleo de T. Lo cual a su vez prueba que el núcleo de T es un subespacio de...