Transformada de Laplace

Capítulo IV: Solución de Ecuaciones Diferenciales por Transformadas de Laplace.
Sesión 4.1: Transformada de Laplace.
Si f (t ) está definida para t  0 , la integral impropia:





0

k ( s, t ). f (t )dt se

define como un límite.





k ( s, t ). f (t )dt  lim

b

 k (s, t ). f (t )dt

b 0

0

Si el límite existe, se dice que la integral existe o que esConvergente. En caso
contrario, se dice que la Integral no existe o que Diverge.
Definición 4.1.1: (La Transformada de Laplace)
Sea f (t ) una función definida para t  0 . Entonces, la integral:


L f (t )   est . f (t )dt
0

Se denomina Transformada de Laplace de f, siempre y cuando la Integral
Converja.
Ejemplos: En cada caso, calcular la transformada que se indica.
1. Evaluar:L 
1

L   
1



st

e dt  lim

b

e

b 0

0

st

dt

b

 1

1
 lim   .e  st   lim  e st  1
b  
 s
 0 b   s






1
1 1
1 1
lim  e st  lim  .0  
b   s
s b  
s
s s

 L  
1

1
s

Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo IV

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Observaciones:
(a) El argumentoanterior es cierto sí s  0 , ya que  sb  0 y e

sb

0

(b) La Transformada L es Lineal. En efecto:


La. f (t )  b.g (t )   est .a. f (t )  b.g (t )dt
0





0

0

  est .a. f (t )dt   est .b.g (t )dt




0

0

 a. est . f (t )dt  b. est .g (t )dt

 a.L f (t ) b.Lg (t )
(c) Las condiciones de existencia de L f (t ) sonque f sea continua por tramos
en 0, y que sea de Orden Exponencial, cuando

t T .

Definición 4.1.2: Una función es continua por tramos en 0, si en cualquier
intervalo 0  a  t  b hay a lo mas una cantidad finita de puntos en donde f es
discontinua.

a

t3

t2

t1

... t

b
i

Definición 4.1.3: Se dice que una función f es de Orden Exponencial C, si existenconstantes c, M  0 y T  0 , tales que:

f (t )  M .e ct , t  T
e ct

f (t )

T
Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo IV

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Teorema 4.1.4: Si f (t ) es continua por tramos en 0, y de Orden Exponencial C
para t  T , entonces L f (t ) existe para s  c .
Ejemplos:

t
2. Evaluar L 


Lt   est .tdt  lim

b

e

 st

b 0

0

.tdt1 st 

 st
 u  t  dv  e dt  du  dt  v   e 
s



Así,

 t.e st  b b 1

 st
 
Lt  lim  
e dt 
b 
s  0 0 s





1
1
1
 0   lim  est  lim 
b s
s  b s


1 1 1
 0 .  2
s s s
 Lt 

1
s2



3. Evaluar L e

 

5t







0

0

L e5t   est .e5t dt   e( s 5)t dt e
e( s 5)t dt  blim  

0
b 
 s5

( s 5 ) t

b

 lim

b




0

e  ( s 5) b
e0
 lim 
 lim
b
s  5 b s  5

 0

1
1

s5 s5





 L e 5t 

1
s5

Lcdo. Rafael González (Cálculo. Período II). Capítulo IV

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4. Evaluar: Lsen(2t )

Lsen(2t )  



 st

e .sen(2t )dt  lim

b

e

b0

0

 st

.sen(2t )dt

1 st 

 st
 u  sen(2t )  dv  e dt  du  2 cos(2t )dt  v   e 
s


Así,

 e st .sen(2t )  b b 1

 st
   e .2 cos(2t )dt 
Lsen(2t )  lim  

b 
s


0 0 s


b
2 b st
2
e . cos(2t )dt  lim  est . cos(2t )dt
0
b s 
s b 0

 0  lim

1 st 

 st
 u  cos(2t )  d v  e dt  d u 2sen(2t )dt  v   e 
s


b

b
 e st . cos(2t )  2
2
 st
  lim  e .sen(2t )dt 
  lim  
 s b 0
s b
s


0


Luego,

Lsen(2t ) 

2 1 2

 .Lsen(2t )
s s s



 Lsen(2t ) 

2 4
 .Lsen(2t )
s2 s2

 Lsen(2t )

4
2
.Lsen(2t )  2
s2
s

 s2  4 
2
4
2

 1  2 .Lsen(2t )  2   2 .Lsen(2t...