Transformada laplace

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INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO
“SANTIAGO MARIÑO”
INGENIERIA EN MANTENIMIENTO MECANICO
ESCUELA 46
CATEDRA: Controles Automáticos

Transformada laplace

Integrantes:
Oropeza, Luis C.I.-15.521.460

Puerto Ordaz, Noviembre 2.008.

Transformada de Laplace

La Transformada de Laplace de una función f(t) definida (en matemáticas y, en particular, en análisis funcional) paratodos los números reales t ≥ 0 es la función F(s), definida por:
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Siempre y cuando la integral esté definida.
Esta transformada integral tiene una serie de propiedades que la hacen útil en el análisis de sistemas lineales. Una de las ventajas más significativas radica en que la integración y derivación se convierten en multiplicación y división. Esto transforma las ecuacionesdiferenciales e integrales en ecuaciones polinómicas, mucho más fáciles de resolver.
Otra aplicación importante en los sistemas lineales es el cálculo de la señal de salida. Ésta se puede calcular mediante la convolución de la respuesta impulsiva del sistema con la señal de entrada. La realización de este cálculo en el espacio de Laplace convierte la convolución en una multiplicación, habitualmente mássencilla.
La transformada de Laplace toma su nombre en honor de Pierre-Simon Laplace.
Cuando se habla de la transformada de Laplace, generalmente se refiere a la versión unilateral. También existe la transformada de Laplace bilateral, que se define como sigue:
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La transformada de Laplace F(s) típicamente existe para todos los números reales s > a, donde a es una constante quedepende del comportamiento de crecimiento de f(t).

La transformada de Laplace es una generalización de la Transformada de Fourier de Tiempo-Continuo. Sin embargo, en lugar de usar funciones senosoidales complejas de la forma ⅇⅈωt, como lo hace la CTFT, la transformada de laplace utiliza una forma más generalizada, ⅇst, donde s=σ+ⅈω.
Un que las transformadas de Laplace rara vez se resuelvenmediante integración (si no por medio de tabla y uso de computadoras (por ejemplo Matlab) es más comun), aquí veremos los pares bilaterales de la transformada de Laplace . Esto define la transformada de Laplace y su inversa. Notese las similitudes entre la transformada de Laplace y su inversa. Esto nos dara como resultado muchas de las simetrias encontradas en el análisis de Fourier.

Transformadade Laplace

F(s) =∫−∞∞f(t) ⅇ−(st) dt (1)

Transformada Inversa de Laplace

f(t) =
|1 |
|2πⅈ |

∫c−ⅈ∞c+ⅈ∞F(s) ⅇstds (2)

Encontrando la Transformada de Laplace y su Inversa

Resolviendo la Integral

Probablemente el método más difícil y menos usado para encontrar la Transformada de Laplace es resolviendo la integral. Aunque es técnicamente posible es extremadamenteconsumidor de tiempo. Dada la facilidad de los siguientes dos métodos para encontrarla, no se vera de otra manera. Las integrales están primordialmente para entender de donde se originan los siguientes métodos.

Usando una Computadora

El uso de una computadora para encontrar la transformada de Laplace es relativamente sencillo. Matlab tiene dos funciones, laplace e ilaplace, las dos forman partede las librerias simbolicas, y encontraremos la transformada de Laplace y su inversa respectivamente. Este método es preferido generalmente para funciones más complicadas. Funciones más sencillas e ideales usualmente se encuetran más facil mediante el uso de tablas.

Usando Tablas

Cuando se aprende por primera vez la transformada de Laplace, las tablas es la forma más comun para encontrarla.Con suficiente práctica las tablas se hacen inecesarias. Para el proposito de sta sección, nos enfocaremos en la transformada inversa de Laplace, dado que la gran parte del diseño de aplicaciones empieza en el dominio de Laplace y dan como resultado una solución en el dominio del tiempo. El método es el siguiente:
1. Se escribe la función que se desea transformar H(s), como la suma de otras...