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3.5. Los Espacios Rn

3.5.1. Producto escalar, ortogonalidad, norma, ángulos.
El producto escalar de dos vectores en el plano, en el espacio (o en cualquier espacio vectorial) se define como elproducto de sus módulos multiplicado por el coseno del ángulo que forman. El resultado es siempre una magnitud escalar.
Se representa por un punto, para distinguirlo del producto vectorial que serepresenta por un aspa.
→ → → →
A.B = |A||B|cos(a)
El producto escalar, también puede calcularse a partir de las coordenadas cartesianas de ambos vectores, en una base ortogonal y unitaria (convectores del mismo tamaño y que forman ángulos rectos entre si) :
→ →
A.B = (a1,a2,a3).(b1,b2,b3) = a1b1 + a2b2 + a3b3

Propiedades del producto escalar:


→ → → →
conmutatividad
A.B = B.A→ → → → → →
asociatividad
m(A.B) = (mA).B = A.(mB)

→ → → → → → →
distributividad
A.(B+C) = A.B + A.C
Si los vectores son ortogonales, su producto escalar es nulo (cos 90º = 0
Ortogonalidad.Dos vectores son ortogonales o perpendiculares cuando forman ángulo recto entre sí. Si el producto escalar de dos vectores es cero, ambos vectores son ortogonales.

ya que el .
Norma.
En losespacios con producto escalar se define una norma

La norma está bien definida, por ser siempre el producto escalar de un vector por sí mismo un número real mayor o igual que cero. En espacioseuclídeos define la "longitud" del vector x. Además se trata de una norma por cumplir las condiciones:
Es siempre positiva y vale cero si y solamente si x vale cero.
Se calcula a través del producto interno delvector consigo mismo.

Efectuado el producto escalar, tenemos:

de modo que

Por componentes, tomando la base canónica en  formada por los vectores unitarios {i, j, k}


de modo queAngulos.
La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores:

3.5.2. Producto Vectorial y Mixto.
En álgebra lineal, el producto...