trigonometria

academiavictorloza.com
CAPÍTULO 1 DEFINICIÓN Y MEDIDAS DE ÁNGULOS. UNIDADES
En estos breves apuntes se trata de dar claridad a conceptos nuevos
y sin apabullar con muchas fórmulas. Por ello, hablaremos sólo de las
ideas esenciales.
La idea de ángulo proviene de las distintas “aberturas” que pueden
formar dos rectas al cortarse y todos tenemos una idea intuitiva de lo que
es un ángulo y con esonos parece suficiente.
Para medir los ángulos se utiliza el “transportador”, una
semicircunferencia graduada en “grados sexagesimales”: por convenio al
ángulo recto formado por dos rectas perpendiculares se le da el valor de
noventa grados; así un transportador de media circunferencia tendría
180 grados:
90°

45°

180°

0°
30°

Quedando la circunferencia entera dividida en 360 grados sexagesimales.Una medida fundamental, y que utilizaremos siempre sino queremos
meter la pata en cálculos un poco más avanzados y en física, es el Radián o
ángulo bajo el cual se ve un radio desde el centro de cualquier
circunferencia cuando este radio lo ceñimos a la circunferencia:
1 𝑅𝑑
𝑅

Página 1 de 16

academiavictorloza.com
Como la circunferencia entera mide 2𝜋𝑅 de longitud, radios de longitud 𝑅
caben2𝜋𝑅
𝑅

= 2𝜋. O lo que es lo mismo, la circunferencia entera contiene

2𝜋 radianes.

Por lo tanto la relación o regla de tres para pasar de grados a radianes es:
𝟑𝟔𝟎° → 𝟐𝝅 𝑹𝒅
𝜋

Entonces, 180 grados son 𝜋 𝑅𝑑 y 90 grados 𝑅𝑑
2

𝜋

90° = 𝑅𝑑
2

180° = 𝜋𝑅𝑑

0° = 0 𝑅𝑑

270° =

3𝜋
2

𝑅𝑑

Ejemplo: calcular cuánto vale en radianes el ángulo de 60 grados:
°
60𝜋 𝜋
→𝑥=
= 𝑅𝑑
{𝜋 𝑅𝑑 → 180
°
180 3
𝑥 → 60

Para acabar estecapítulo, hemos de saber cómo se suman y restan
ángulos geométricamente:
Si queremos sumarle a un ángulo otro, giraremos una de sus líneas
en sentido antihorario la cantidad que le queramos sumar:
90 +30

+30
90 + 30 = 120°
30°

Página 2 de 16

academiavictorloza.com
Si queremos restar giraremos una de sus líneas en sentido horario
−30°

90-30

90 − 30 = 60°

Como hemos intentando reflejar enlas figuras, el origen de
ángulos está siempre en el eje horizontal derecho (eje X positivo) y, como
creemos que se aprecia, todos los ángulos van acompañados de una
flecha cuyo origen es ese (eje X positivo).

CAPITULO 2. DEFINICIÓN DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
La definición de las principales medidas trigonométricas, como las
llamaremos a partir de ahora, seno y coseno puede enfocarse desdemuchos puntos de vista. Nosotros empezamos dando la definición
geométrica sobre la circunferencia de radio unidad (circunferencia
goniométrica –medidora de ángulos-):

𝑌

𝑃(𝑋, 𝑌)
𝛼
𝑋

En esta circunferencia de radio unidad, insistimos, hemos marcado un
ángulo 𝛼 cualquiera determinado por el eje X positivo (siempre el origen
de ángulos estará en el eje X positivo) y la recta oblicua que hemos
dibujadoy que determina el ángulo. Esta recta corta a la circunferencia en
el punto 𝑃(𝑋, 𝑌), pues bien, la magnitud X de este punto (anchura) se
Página 3 de 16

academiavictorloza.com
define como el coseno de 𝛼 𝑜 𝑐𝑜𝑠𝛼 y la magnitud Y de este punto (altura)
define el seno de 𝛼 𝑜 𝑠𝑒𝑛𝛼.

𝑅=1

𝑃(𝑋, 𝑌) {

𝑂

𝑋 = 𝑐𝑜𝑠𝛼
𝑌 = 𝑠𝑒𝑛𝛼

𝑄

Recordando que el radio de la circunferencia es uno, si estudiamos el
triángulorectángulo 𝑂𝑄𝑃 y aplicamos Pitágoras a él tenemos:

𝑃

𝑂

𝑄

̅̅̅̅ = 1
𝑂𝑃
̅̅̅̅ = 𝑐𝑜𝑠𝛼 → 1 = (𝑐𝑜𝑠𝛼)2 + (𝑠𝑒𝑛𝛼)2 →
𝑂𝑃 = 𝑂𝑄 + 𝑄𝑃 → {𝑂𝑄
̅̅̅̅ = 𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑄𝑃
̅̅̅̅2

̅̅̅̅2

̅̅̅̅2

→ 𝟏 = 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜶 + 𝒔𝒆𝒏𝟐 𝜶
Fórmula fundamental de la trigonometría y que por supuesto no hay que
olvidar. Es intención de esta explicación dejar los conceptos básicos bien
claros y no ser un mero formulario de los que hay muchos (aunque alfinal
se incluye uno, es bueno tener uno a mano) por ello sólo hablaremos de
las más importantes según nuestro criterio.

Página 4 de 16

academiavictorloza.com
Son las siguientes:
𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑡𝑔𝛼 =
𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒: 𝑐𝑡𝑔𝛼 =

𝑠𝑒𝑛𝛼
𝑐𝑜𝑠𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼
1
=
𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑡𝑔𝛼
1

𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑠𝑒𝑐𝛼 =

𝑐𝑜𝑠𝛼

;

𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒: 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝛼 =

1
𝑠𝑒𝑛𝛼

Entre ellas hay infinitud de relaciones que, como ya hemos dicho, no
nos interesan en...