U4

Espacios Vectoriales
Departamento de Matem´aticas, CCIR/ITESM
14 de enero de 2011

´Indice
13.1. Objetivos . . . . . . . . . . . . . .
13.2. Motivaci´on . . . . . . . . . . . . .
13.3. Abstracci´on y Generalizaci´
on . . .
13.4. Generalizaci´
on . . . . . . . . . . .
13.5. El concepto de operaci´
on . . . . .
13.6. Espacio Vectorial . . . . . . . . . .
13.7. Teoremas sobre espacios vectoriales13.8. Ejemplos de EV . . . . . . . . . .
13.9. Subespacio Vectorial . . . . . . . .

13.1.

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1
1
3
3
3
4
7
7
13

Objetivos

En esta lectura se introduce elconcepto de espacio vectorial. Este concepto generaliza los vectores n y las
matrices m × n. El concepto es abstracto y por tanto tiene alguna dificultad natural; se le pide al estudiante
un esfuerzo extra para pensar las cosas desde un punto de vista general.

13.2.

Motivaci´
on

Veamos un ejemplo para introducir el concepto de las ideas invariantes en la soluci´on a un sistema de
ecuacioneslineales.
Ejemplo 13.1
Considere el sistema homog´eneo:
x + 2y + w + 2t = 0
2x + 4y − z + w + 5t = 0
x + 2y + z + 2w + t = 0
z+w−t = 0
Si utilizamos el orden x → y → z → w → t la matriz aumentada



1 2
0 1
2 0
1 2
 2 4 −1 1

 0 0
5
0

→
 1 2
 0 0
1 2
1 0 
0 0
1 1 −1 0
0 0
De donde la f´ormula para las soluciones son:



x
 y 




 z =y 



 w 

t

−2
1
0
0
0






+w









−1
0
−1
1
0

reducida queda:

0 1
2 0
1 1 −1 0 

0 0
0 0 
0 0
0 0







+t









−2
0
1
0
1








Si utilizamos el orden x → y → w

1 2
 2 4

 1 2
0 0

→ z → t la matriz aumentada reducida queda:



1
0
2 0
1 2 0 −1
3 0

1 −1
5 0 
1 −1 0 
→ 0 0 1

 0 0 0
2
1
1 0 
0
0 0 
1
1 −1 0
0 0 0
0
0 0

De donde la f´ormula para las solucionesson:



x
 y 




 z =y 



 w 

t

−2
1
0
0
0







+z









1
0
1
−1
0







+t









−3
0
0
1
1








Si utilizamos el orden x → y → t → z → w la matriz aumentada reducida queda:




1 2
2
0 1 0
1 2 0
2
3 0
 2 4


5 −1 1 0 

 →  0 0 1 −1 −1 0 
 1 2


1
1 2 0
0 0 0
0
0 0 
0 0 −1
1 1 0
0 0 0
0
0 0
De donde la f´ormula para lassoluciones son:



x

 y 



 z =y 




 w 
t

−2
1
0
0
0







+z









−2
0
1
0
−1







+w









Si utilizamos el orden y → x → z → w → t la matriz aumentada



1
2 1
0 1
2 0
1

2
 4 2 −1 1
5 0 

→
0 0

 2 1
1 2
1 0 
 0 0
0 0
1 1 −1 0
0 0
De donde la f´ormula para las soluciones


x
 y 


 z =x


 w 
t

son:













+w









1
−1/2
0
0
0

0
−1/2
−1
1
0

−3
0
0
1
1








reducida queda:

1
0
1 0

2
1 1 −1 0 

0 0
0 0 
0

0

0 0







+t









0
−1
1
0
1








Todas las soluciones previas aparentant ser diferentes, sin embargo, todas representan el mismo conjunto
soluci´on. Necesitamos una teor´ıa que nos d´e confianza en los resultados obtenidos; qu´enos indique las cosas que permanecen y las cosas que pueden cambiar en las m´
ultiples respuestas v´alidas en Rn que podemos
n
obtener.
Adem´as de los conjuntos soluci´
on en R , existen otras ´areas de la ingenier´ıa que requieren un
apoyo matem´atico: las matrices tienen su importancia y uso en ingenier´ıa industrial y en control; las series
trigonom´etricas en procesamiento de se˜
nales;...