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ÁLGEBRA LINEAL

E. Ingenierías Industriales

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LISTA DE PROBLEMAS: aplicaciones lineales

1.- Estudiar si las siguientes aplicaciones son lineales:
𝑓1 : IR2 −→ IR2 , (𝑥1 , 𝑥2 ) → (𝑥2 , 𝑥1 ),

𝑓2 : IR2 −→ IR2 , (𝑥, 𝑦) → (𝑥2 , 𝑦 2 ),

𝑓3 : IR3 −→ IR2 , (𝑥1 , 𝑥2 , 𝑥3 ) → (𝑥1 + 1, 𝑥2 − 𝑥3 ), 𝑓4 : IR2 [𝑥] −→ IR1 [𝑥], 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥2 → 𝑎1 + 2 𝑎2 𝑥,
(
)
(
) (
)
𝑎 𝑏
𝑎 𝑏
𝑑
𝑏
2𝑓5 : ℳ2 (IR) −→ IR ,
→ (𝑎−𝑏, 𝑐+2 𝑑), 𝑓6 : ℳ2 (IR) −→ ℳ2 (IR),
→
.
𝑐

𝑑

𝑐

𝑑

𝑐+𝑎

2.- Obtener una base de Ker(𝑇 ) y otra de Im(𝑇 ) para cada una de las siguientes aplicaciones lineales:

(
𝑇1

𝑥
𝑦

)
=

𝑥 + 2𝑦
3𝑥 + 6𝑦
8𝑥 + 16𝑦

)

(
, 𝑇2

𝑥
𝑦

)

⎛

0
⎜ −1
=⎝
1
1

⎞

1
(
)
0 ⎟ 𝑥
y
3 ⎠ 𝑦
−1

⎛

⎞

𝑥
(
0
⎜ 𝑦 ⎟
𝑇3 ⎝
=
𝑧 ⎠
0
𝑡

2
81
4

0
0

)

𝑑+1

⎛

⎞

𝑥
⎜ 𝑦 ⎟
⎝ 𝑧 ⎠.
𝑡

3.- Sea {e1 , e2 , e3 } la base canónica de IR3 . Se considera la aplicación lineal 𝑓 : IR3 → IR4 dada por
𝑓 (e1 ) = (1, 0, 0, 1) , 𝑓 (e2 ) = (0, −1, 0, 0) , 𝑓 (e3 ) = (−1, 0, 0, −1) .
Calcular una base de Ker(𝑓 ) y una base de Im(𝑓 ).
4.- Calcular una base del núcleo y una base de la imagen del operador lineal 𝑓 de IR4 dado por:
𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = (2 𝑥 + 2 𝑧 + 4 𝑡 , 𝑥 + 𝑦 , 𝑦 − 𝑧 − 2 𝑡 , 𝑥 + 𝑧 + 2 𝑡).
5.- Sea 𝑓 el operador lineal de IR4 que verifica:
𝑓 (1, 1, 0, 0) = (0, 1, 0, −1) , 𝑓 (1, 0, 1, 0) = (1, 1, 1, 0) y Ker(𝑓 ) = Im(𝑓 ).
Calcular la matriz asociada a 𝑓 en la base canónica de IR4 .
6.- Sea 𝑉 un espacio vectorial de dimensión 4 y sea 𝑇 : IR3 [𝑥] → 𝑉 una aplicación lineal tal que

⎛

1
⎜ 2
𝐴=⎝
1
3

0
10
0

1
2
0
2

⎞

3
1 ⎟
1 ⎠
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es su matriz en las bases 𝐵 = {1, 𝑥, 𝑥2 , 𝑥3 } y 𝐵 ∗ = {v1 , v2 , v3 , v4 } de IR3 [𝑥] y 𝑉 respectivamente.
(a) Hallar una base para Ker(𝑇 ) y otra para Img(𝑇 ).
(b) Comprobar que 𝑇 (1 + 𝑥) = v1 + 3v2 + v3 + 3v4 .
7.- Se considera el subespacio de IR4 , 𝑊 = lin{v1 = (2, 1, 1, −1), v2 = (1, −1, 4, 0)}. Sea 𝑇 : IR2 → 𝑊 una aplicación
lineal tal que𝑇 (1, 2) = ⃗0 y 𝑇 (1, 1) = v1 + v2
(a) Hallar la matriz de 𝑇 en las bases 𝐵 = {(1, 2), (1, 1)} y 𝐵 ′ = {v1 , v2 }.
(b) Hallar una base de Ker(𝑇 ) y otra de Im(𝑇 ).
8.- Sea 𝑓𝛼 el operador lineal de IR4 dado por la matriz

⎡

−1
⎢ 1
𝐴𝛼 = ⎣
1
1

1
−1
−1
−1

1
−1
𝛼−1
𝛼−1

⎤

1
−1
⎥
∈ ℳ4 (IR) , 𝛼 ∈ IR .
−𝛼 − 1 ⎦
−𝛼 − 1

(a) Calcular el rango de 𝑓𝛼 , es decir, ladimensión de Im(𝑓𝛼 ), según los valores del parámetro 𝛼 ∈ IR.
(b) Obtener bases de Ker (𝑓𝛼 ) e Im (𝑓𝛼 ) según los valores de 𝛼.

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9.- Sea 𝛼 ∈ IR. Se considera la familia de aplicaciones lineales
𝑓𝛼 :

IR2 [𝑥]

−→

𝑝(𝑥)

→

IR3
(𝑝(0), 𝑝(1), 𝛼 𝑝(1)) .

(a) Calcular la matriz asociada a 𝑓𝛼 en las bases canónicas de IR2 [𝑥] y IR3 .
(b)Calcular los subespacios Im (𝑓𝛼 ) y Ker (𝑓𝛼 ) según los valores de 𝛼 ∈ IR.
10.- Sea la aplicación 𝑓 : IR3 → IR2 definida por
𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (2𝑥 + 𝑦 , 𝑦 − 𝑧) .
Sean ℬ1 y ℬ2 las bases canónicas de IR3 y IR2 respectivamente. Calcular 𝐴 = 𝐴𝑓 ;ℬ1 ,ℬ2 y 𝐴′ = 𝐴′𝑓 ;ℬ′ ,ℬ′ donde
1

ℬ1′

= { (1, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 2, 1)}

ℬ2′

y

2

= { (2, 1), (1, 0)} .

11.- Se considera la aplicaciónlineal
𝑓:

IR4

−→

(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

→

1
2

[

ℳ2 (IR)
]
𝑧−𝑡 𝑧+𝑡
𝑥−𝑦 𝑥+𝑦

(a) Calcular la matriz asociada a 𝑓 en las bases canónicas de IR4 y ℳ2 (IR).
(b) Calcular la matriz asociada a 𝑓 en las bases
ℬ = { a1 = (1, 1, 0, 0), a2 = (1, −1, 0, 0), a3 = (0, 0, 1, 1), a4 = (0, 0, 1, −1)} de IR4

{
ℬ′ =

[
𝐶1 =

0
0

0
1

]

[
, 𝐶2 =

0
1

0
0

]

[
, 𝐶3 =0
0

1
0

]

[
, 𝐶4 =

1
0

0
0

y

]}
de ℳ2 (IR).

12.- Sea 𝑇 : IR3 → IR2 una aplicación lineal definida por
𝑇 (𝑥, 𝑦, 𝑧) = (3𝑎𝑥 + 2𝑏𝑦 , 𝑎𝑧) ;

𝑎, 𝑏 ∈ IR

(a) Hallar la matriz de 𝑇 en las bases canónicas de IR3 y IR2 .
(b) Encontrar 𝑎 y 𝑏 para que la dimensión del subespacio Im(𝑇 ) sea 1, y en ese caso hallar una base de Ker(𝑇 )
y otra de Im(𝑇 ).
(c) Para 𝑎 =...