Unidad 3 2010 calculo vectorial 0ct 2011

3
Capítulo
Funciones Vectoriales de una Variable Real

“Pregúntate si lo que estás haciendo hoy, te acerca a lo que quieres hacer mañana”
Proverbio Anónimo

Sonia Kovalévsky (Sofia Vasílievna Kovalévskaya)
Sonia Kovalévskaya fue una matemática rusa del siglo XIX, que para poder estudiar en la universidad tuvo que salir fuera de Rusia, pedir permisos especiales para asistir a clase ysolicitar clases particulares a ilustres matemáticos. Después de obtener el doctorado en Matemáticas, a pesar de que ninguna universidad en Europa admitía a una mujer como profesora, consiguió serlo en la entonces recién creada Universidad de Estocolmo. Sus investigaciones se centran en el Análisis Matemático. El teorema de Cauchy-Kovalévskaya formaba parte del trabajo por el que obtuvo eldoctorado. Es un teorema de existencia y unicidad de soluciones de una ecuación en derivadas parciales de orden k con condiciones iniciales para funciones analíticas. Su trabajo sobre funciones abelianas trataba del estudio de los casos en los que las funciones abelianas pueden reducirse a integrales elípticas y fue publicado en el Acta Mathematica. De las memorias presentadas para obtener el doctoradotrataba de la forma y estabilidad de los anillos de Saturno. Sonia abandonó la hipótesis de elipticidad y, utilizando un desarrollo en serie de Fourier, resolvió un sistema con infinitas variables por el método de aproximaciones sucesivas. En un artículo que publicó comentaba que los últimos trabajos de Maxwell hacían poco aceptable la hipótesis de la estructura líquida de los anillos y que éstosestaban formados por partículas de hielo y rocas, como posteriormente se demostró. Muchos autores han comentado que el resultado más importante de Kovalévskaya sobre los anillos de Saturno fue determinar su forma oval. Otros opinan que lo más significativo de su trabajo fue plantear dos problemas importantes en matemática aplicada como son el análisis de errores y la estabilidad, además deproponer, de manera heurística, técnicas para resolver ecuaciones integrales. Leonhard Euler (1758) había resuelto el problema cuando el punto respecto al que gira es el centro de gravedad. J. L. Lagrange (1811-1815), el de un cuerpo de revolución que gira alrededor de un eje. Pero estaba sin resolver el caso general. Sonia resolvió de forma analítica las ecuaciones del movimiento. Planteó un sistema deseis ecuaciones diferenciales, consideró el tiempo como una variable compleja y analizó los casos en los que las seis funciones implicadas, las tres componentes del vector velocidad angular y las tres del vector unitario vertical (aceleración de la gravedad), eran funciones meromorfas del tiempo, con este planteamiento los movimientos estudiados por Euler y Lagrange eran casos particulares, ademásencontró un tercer caso y lo estudió. Con ello este problema quedaba analíticamente resuelto.

3.1
Definición de Función Vectorial de una Variable Real, Dominio

Continuando con el estudio de partículas en movimiento, ahora definimos una función que es expresada en forma vectorial que describa la trayectoria de una partícula que se mueve en el espacio R3.
Definición:
Se llama funciónvectorial a cualquier función de la forma:
Plano
Espacio
donde las funciones componentes f, g y h son funciones del parámetro t con valores reales.
También las funciones vectoriales se denotan con frecuencia por
f(t) = < f(t), g(t) > o f(t) = < f(t), g(t), h(t) >

Para cada valor real de tn corresponde un vector de posición normal r(tn), yal conjunto de ambos se les llama dominio y contradominio, respectivamente:

El dominio de una función vectorial r(t) es el dominio común que resulte del dominio de las funciones componentes f, g y h.
Ejemplo 1
Hallar el dominio de las siguientes funciones vectoriales:

a) r(t) = 2t2i + 1/2tj + 3k
b) r(t) = (t-1)2i – 2j + k

Solución
a) El dominio de r(t) son todos los...