Unidad 4 A14500247

UNIDAD 4 :
SERIES
CALCULO
INTEGRAL
PROFESOR: CYNTHIA GOMEZ
TORRES
ALUMNA: MEZA CONTRERAS JUANA
YAZMIN
GRADO Y GRUPO: 2° SEM.
INGENIERIA INDUSTRIAL

 ,

4.1 DEFINICIÓN DE SERIE
Una serie aritmética es la suma de una sucesión de
términos.


Por ejemplo, una serie interesante que aparece en
muchos problemas en ciencia, ingeniería, y
matemática
es
la
seriegeométrica r + r2 + r3 + r4 +... donde ... indica que la
serie continúa indefinidamente.
Donde n es el número de términos, a1 es el primer término
y r es la relación común.

Carácter de una serie.


Convergente: Cuando la suma es un número real.



Divergente: Cuando la suma da + o - infinito.



Oscilante: Cuando no es ninguna de las anteriores.

4.1.1 SERIE FINITA
En matemáticas, una serie es la suma de los
términos de una sucesión. Serepresenta una serie
con términos an como  
 donde n es el índice
final de la serie. Las series infinitas son aquellas
donde i toma el valor de absolutamente todos los
números naturales, es decir,   .
Las series finitas son las que constan de un
determinado, o finito número de términos, cuya suma
extrae exactamente el valor de una cantidad.

Serie aritmética:

Serie
geométrica:

4.1.2 SERIE
Haciendola división, que indica esta expresión a+b / a
  INFINITA



2

– ½ b, el cociente tendrá muchos términos separados
unos de otros con dichos signos, por consiguiente será
una serie. Si prosiguiendo la división siempre hubiese
un residuo que dividir, es decir, que no exista un
elemento que al multiplicarlo por divisor no haya resta
que realizar, el cociente que saldría sería una serie
infinita, oque jamás se acabaría, por lo tanto jamás se
podría llegar a una expresión del todo exacta, de la
fracción, o del cociente.


Si  es una sucesión y



Entonces  es una sucesión de sumas
denominada serie infinita y se denota por



Los números  son los términos de la serie infinita.

parciales

4.2 SERIE NUMERICA Y
CONVERGENCIA PRUEBA DE LA
RAZON (CRITERIO DE D’ALEMBERT) Y
PRUEBA DE LA RAIZ(CRITERIO DE
 Una secuencia es una lista ordenada de objetos (o
eventos). ComoCAUCHY).
un conjunto, que contiene los
miembros (también llamados elementos o términos ),
y el número de términos (posiblemente infinita) se
llama la longitud de la secuencia. A diferencia de un
conjunto, el orden importa, y exactamente los
mismos elementos pueden aparecer varias veces en
diferentes posiciones en lasecuencia. Una secuencia
es una discreta función.



Criterio de D'Alembert (Criterio de la razón)

Sea una serie  , tal que ak > 0 ( serie de términos positivos).
Si existe
con  , el Criterio de D'Alembert establece que:
§    si L < 1, la serie converge.
§    si L > 1, entonces la serie diverge.
§    si L = 1, no es posible decir algo sobre el comportamiento de la serie.
En este caso, es necesarioprobar otro criterio, como el criterio de Rabe.



Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sea una serie  , tal que ak > 0 (serie de términos positivos). Y supongamos que existe
, siendo 
Entonces, si:
§      L < 1, la serie es convergente.
§      L > 1 entonces la serie es divergente.
§      L=1, no podemos concluir nada a priori y tenemos que recurrir al criterio de Rabe, o
de
comparación,
para
versi
podemos
llegar
a
alguna
conclusión.

CRITERIO DE D’ALEMBERT:

CRITERIO DE CAUCHY:

4.3 SERIE DE
POTENCIAS
 


Derivando o integrando una serie de potencias, cuya

suma analítica conozcamos, podemos llegar a una
expresión que, por substitución de la variable,
corresponda a la serie numérica cuya suma buscamos.
De esta forma podemos conseguir determinar la suma
numérica indirectamente. Estasoperaciones de
derivación e integración sólo son posibles dentro del
radio de convergencia de las serie de potencias. Aquí
radica la importancia de determinar con exactitud el
radio de convergencia.

4.4 RADIO DE CONVERGENCIA
En muchos casos podemos determinar el intervalo
de convergencia de una serie de potencias con la
ayuda del criterio de convergencia de d’Alembert.
A dicho...