Unidad 4 Areas Volumenes

CALCULO INTEGRAL
AREAS DE UNA REGIÓN
PLANA

AREA DE REGIONES PLANAS
AREA BAJO UNA CURVA

La integral definida de una función en un intervalo dado nos da como
resultado el área bajo la curva

y

BARRIDO VERTICAL
Barrido Vertical

a

Δx

b

x

ÁREA ENTRE CURVAS

Pasos para hallar el área de una región
plana en coordenadas rectangulares.

EJEMPLO
• Determinar el área de la región definida porlas dos curvas.



y



Determinar los puntos de intersección



(3,7)









(-2,2)




x

































Barrido Vertical


y
















x





















dx













ÁREA DE REGIONES SIMPLE - Y

BARRIDO HORIZONTAL
y

Barrido Horizontal

c

d

Δy

x

EN FORMA GENERAL

EJEMPLO

SOLUCIÓNBARRIDO HORIZONTAL

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
MÉTODO DEL
DISCO

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
MÉTODO DE LAS ARANDELAS:

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
MÉTODO DE LA CORTEZA

El sólido diferencial tendría la forma de una
CORTEZA:

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓNVOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

y

















x


















VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE
REVOLUCIÓN

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
POR MEDIO DE SECCIONES TRANSVERSALES CONOCIDAS

Hasta ahora, nuestros sólidos habían tenido secciones
transversalescirculares. Sin embargo, el método de encontrar
el volumen funciona también para sólidos cuyas secciones
transversales son cuadrados o triángulos. En realidad, todo lo
que se necesita es que las áreas de las secciones transversales
puedan determinarse, ya que, en este caso, también podemos
aproximar el volumen de la rebanada una capa con esta
sección transversal.

LONGUITUD DE ARCO PARAFUNCIONES

LONGUITUD DE ARCO PARA FUNCIONES
P1

P2

C
Pi

P0

a

Pn

Pi-1

x1 x2

xi-1 xi

xn=b

LONGUITUD DE ARCO PARA FUNCIONES

LONGUITUD DE ARCO PARA FUNCIONES

Ejemplo 1:
Calcula la longitud de arco de la parábola semicúbica
y2 = x3 entre los puntos (1; 1) y (4; 8)

35

LONGUITUD DE ARCO PARA FUNCIONES

y
















x



















Ejemplo 3:
a) Plantee unaintegral para hallar la longitud de un arco de
la hipérbola xy = 1, de (1; 1) hasta (2; ½).
b) Con ayuda de un asistente matemático calcule la integral
planteada en a).

37

Ejemplo 4:
Determina la longitud de un arco de la curva

ln(x ) , desde (1; 1) hasta un punto de
yx  8
2

abscisa x.

38

Ejemplo 5:
Calcula la longitud de cada una de las curvas en
los intervalos indicados.

a)
b)

c)

2

3

y (x  1)
y 

x4  1
4
8 x2

y  ln( cos x )

1 x 2
1  x 3


0 x 4
39

Ejemplo 6:
Trace la curva cuya ecuación es x 2 / 3  y 2 / 3  1
y calcule su longitud aprovechando su simetría.

40

Ejemplo 7:
Calcula la longitud de la curva:

y 



x

1

3

t  1 dt,

1 x 4

41

LONGUITUD DE ARCO PARA FUNCIONES

LONGUITUD DE ARCO PARA FUNCIONES
Encuentre el área de la superficie derevolución generada al hacer girar
la curva 𝒚 = 𝒙, 𝟎 ≤ 𝒙 ≤ 𝟒, en torno al eje x

ÁREAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
Una superficie de revolución se forma cuando se hace girar una
curva en torno de una recta. Podemos imaginar que se
desprende una capa externa muy delgada del cuerpo de
revolución y que la cascara se aplana para poder medir su área.

GIRA CON RESPECTO AL EJE X

GIRA CON RESPECTO AL EJE YÁREAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN
DEDUCCIÓN DE LA FÓRMULA

ÁREAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

ÁREAS DE SUPERFICIES DE REVOLUCIÓN

Gira alrededor del eje X

Gira alrededor del eje Y

Función : 𝑦 = 𝑓(𝑥)

Función : 𝑥 = 𝑓(𝑦)

𝐴 = 𝑆 = 2𝜋

𝑏
𝑓(𝑥)
𝑎

𝑑𝑦

1 + (𝑑𝑥 )2 dx

Función : 𝑥 = 𝑓(𝑦)
𝐴 = 𝑆 = 2𝜋

𝑑
𝑦
𝑐

𝐴 = 𝑆 = 2𝜋

𝑑
𝑓(𝑦)
𝑐

𝑑𝑥

1 + (𝑑𝑦)2 dy

Función : 𝑦 = 𝑓(𝑥)
𝑑𝑥

1 + (𝑑𝑦)2 dy

𝐴 = 𝑆 = 2𝜋

𝑏
𝑥...