Unidad 5 Metodo Euler

Métodos Numéricos.
Unidad 5.

Coronado Ahumada Luis Ruben.
No. Control 10400355

Temas.
* Interpolación Lineal de Newton
* Interpolación Cuadrática de Newton
* Interpolación LaGrange
* Interpolación Cuadrática de LaGrange

Instituto Tecnológico de Tepic.

Docente: ING.PALOMERA ORTEGA VICTOR RAMON.
Introducción.
En este documento se encontrar la información necesariapara conocer la interpolación segmentada así como sus métodos de solución o mejor dicho los pasos a seguir para realizar las operaciones con sus distintos métodos como lo son la interpolación lineal, la interpolación lineal cuadrática, y la interpolación cúbica, además de los ejercicios realizados en clase y las tareas.

CONTENIDO.

Interpolación segmentada.
Esta interpolación se llamainterpolación segmentaria o interpolación por splines. La idea central es que en vez de usar un solo polinomio para interpolar los datos, podemos usar segmentos de polinomios y unirlos adecuadamente para formar nuestra interpolación.
Cabe mencionar que entre todas, las splines cúbicas han resultado ser las más adecuadas para aplicaciones como la mencionada anteriormente.
Así pues, podemos decir demanera informal, que una función spline está formada por varios polinomios, cada uno definido en un intervalo y que se unen entre si bajo ciertas condiciones de continuidad.

Interpolación Segmentaria Lineal
Este es el caso más sencillo. En él, vamos a interpolar una función f(x) de la que se nos dan un número N de pares (x,f(x)) por los que tendrá que pasar nuestra función polinómica P(x).Esta serie de funciones nuestras van a ser lineales, esto es, con grado 1: de la forma P(x) = ax + b.
Definiremos una de estas funciones por cada par de puntos adyacentes, hasta un total de (N-1) funciones, haciéndolas pasar obligatoriamente por los puntos que van a determinarlas, es decir, la función P(x) será el conjunto de segmentos que unen nodos consecutivos; es por ello que nuestra funciónserá continua en dichos puntos, pero no derivable en general.
Ejemplo : Interpolar con splines f(x) = 1 / x , en los puntos en los que x vale 1, 2 y 4
f(1) = 1
f(2) = 0.5
f(4) = 0.25
El primer segmento P1(x) = ax + b deberá unir los primeros dos puntos de coordenadas (1,1) y (0.5,2). Surge un sistema lineal de dos ecuaciones en dos incógnitas:
(1) 1=a+b
(2) 0.5=2a+b
De (1) seobtiene:
a=1-b (3)
Reemplazando (3) en (2) se obtiene:
0.5=2(1-b)+b
luego
b=1.5

Reemplazando el valor de (b) en (1), se obtiene:
a = - 0.5
Por lo tanto, se concluye que: P1(x) = - 0.5x + 1.5 El segundo segmento P2(x) = ax + b deberá unir el segundo punto (0.5,2) con el tercer punto (0.25,4). Análogamente a lo hecho para P1(x), en el caso de P2(x) se obtiene:
(1) 0.5 = 2a + b
(2)0.25 = 4a + b
a = - 0.125, b = 0.75
Luego P2(x) = - 0.125x + 0.75
Interpolación Segmentaria Cuadrática
En este caso, los polinomios P(x) a través de los que construimos el Spline tienen grado 2. Esto quiere decir, que va a tener la forma P(x) = ax² + bx + c
Como en la interpolación segmentaria lineal, vamos a tener N-1 ecuaciones (donde N son los puntos sobre los que se define la función).La interpolación cuadrática nos va a asegurar que la función que nosotros generemos a trozos con los distintos P(x) va a ser continua, ya que para sacar las condiciones que ajusten el polinomio, vamos a determinar cómo condiciones:
Que las partes de la función a trozos P(x) pasen por ese punto. Es decir, que las dos Pn(x) que rodean al f(x) que queremos aproximar, sean igual a f(x) en cada unode estos puntos.
Que la derivada en un punto siempre coincida para ambos "lados" de la función definida a trozos que pasa por tal punto común.

Esto sin embargo no es suficiente, y necesitamos una condición más. ¿Por qué?. Tenemos 3 incógnitas por cada P(x). En un caso sencillo con f(x) definida en tres puntos y dos ecuaciones P(x) para aproximarla, vamos a tener seis incógnitas en total....