Unidad 5 transformaciones lineales.


INSTITUTO TECNOLOGICO DE LAZARO CARDENAS



ALFONSO CHANG MORENO



ALGEBRA LINEAL


UNDIDAD V
TRANSFORMACIONES LINEALES.


EQUIPO: 6


INTEGRANTES:

AARON RAMON ZAVALA MARTINEZ

LUIS MARTIN AGUIRRE PEREZ

CESAR ENRIQUE GUZMAN RODRIGEZ

JUAN BAUTISTA GALEANA SERRANO

ANGEL FELIPE MONGE GONZALEZ





TERCER SEMESTRE










IntroducciónCONCEPTO: Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector.
Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el lossiguientes ejemplos y demás, podremos ver lo que es una transformación. Mas adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa.


Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en elálgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.





























Transformaciones lineales

Definición de transformación lineal y sus propiedades

Definición.   Sean  V  y  W espacios vectoriales sobre el mismo campo k. Una transformación lineal  de V  en  W, es una función   tal que:
i)   ,  .
           ii)   ,  ,  .
En otras palabras, una transformación lineal es una función que respeta las operaciones definidas en los espacios vectoriales: “abre sumas y saca escalares”.
Observaciones:
i) Si   es una transformación lineal, entonces  .
En efecto . Por la ley de lacancelación en W, tenemos que .
Ejemplo: Sea   tal que  ,  . Entonces  T es lineal,  ya que , y  por otro lado,  . Por lo tanto, vemos que .
Esta transformación recibe el nombre de la transformación cero y se denota como .
Ejemplo: Sea    tal que , . Entonces  T es lineal, ya que  .
Esta transformación recibe el nombre de la transformación identidad de V en V, y se denota como .
Ejemplo:Sea    tal que   la traza de A, es decir,  , la suma de los elementos de la diagonal. Entonces  T  es lineal, ya que

Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las siguientes condiciones:
1. T(u+v) = T(u) + T(v)
2. T(ku) = kT(u) donde k es un escalar.
Clasificación de las transformaciones lineales
1. Monomorfismo: Si esinyectiva, o sea si el único elemento del núcleo es el vector nulo.
2. Epimorfismo: Si es sobreyectiva (exhaustiva).
3. Isomorfismo: Si es biyectiva (inyectiva y exhaustiva).
4. Endomorfismo: Si o sea si el dominio es igual al condominio (el espacio vectorial de salida y el de llegada son el mismo).
5. Automorfismo: Si es endomorfismo e isomorfismo a la vez.


Ejemplos de transformacioneslineales (reflexión, dilatación, contracción, rotación)
Ejemplo: (Rotación por un ángulo  )
Sea   un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar  cual es la transformación  T  de   en   que gira cada vector   un ángulo , para obtener un vector . En una gráfica, vemos la situación como sigue:












Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:


Distribuyendo y usando elhecho de que   y            tenemos que:


Por lo tanto, ya descubrimos cómo debe estar definida la transformación  tal que  .
Ejemplo: (Reflexión sobre el eje x). En este caso, queremos averiguar como está definida la transformación T  de   en  que cada vector  lo refleja sobre el eje x, para obtener un vector . En una gráfica, vemos la situación como sigue:
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