Transformaciones lineales



Las transformaciones lineales son las funciones con las que trabajaremos en Algebra Lineal.
Se trata de funciones entre K-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura (es decir, con la operación y la acción) de estos espacios.

Así como cuando se estudian las funciones reales interesan especialmente las funciones continuas, cuando se estudian funciones de un espaciovectorial en otro interesan aquellas que poseen ciertas propiedades especiales, por ejemplo las que conservan operaciones. Es decir, que la función sea tal que "conserve" las dos operaciones fundamentales que definen la estructura de espacio vectorial. 
Una función T: V ® W (de un espacio vectorial V en un espacio vectorial W) 
se dice una transformación lineal si, para todo a, b Î V, 
k Î  K (K es elcuerpo de escalares) se tiene:

T (a + b) = T (a) + T (b)

T (k a) = k T (a)
En síntesis, podemos dar la siguiente definición:
Que se puede resumir en T (a a + b b) = a T (a) + b T (b), llamada propiedad de linealidad.
Si T: V ® W es una transformación lineal, el espacio V se llama dominio de T y el espacio W se llama codominio de T.

Propiedades

ü Para toda transformación lineal T:V ® W, T (-x) = -T (x)
ü Para toda transformación lineal T: V ® W, T (0) = 0 (El que aparece en la izquierda es el vector nulo de V, mientras que el que aparece en el lado derecho es el vector nulo de W. Se puede escribir también T (0V) = 0W )
üSea V un espacio vectorial de dimensión finita, W un espacio vectorial, {v1,..., vn} una base de V, y {z1,..., zn} un conjunto cualquiera de vectores de W.Entonces existe una única transformación lineal T: V ® W tal que T (vi) = zi (1 ≤ i ≤ n)

Recordemos que las transformaciones lineales son funciones, y como tales, pueden ser suryectivas, inyectivas o biyectivas. Gráficamente,
 



Transformación suryectiva
Transformación inyectiva
Transformación biyectiva
 Se dice que:
üT: V ® W es un monomorfismo si, y sólo si, T es inyectiva. Esdecir, T es un monomorfismo si y sólo si" u, v Î V: T(u) = T(v) Þ u = v.
üT: V ® W es un epimorfismo si, y sólo si, T es sobreyectiva. Es decir, T es un epimorfismo si y sólo si "w Î W, $ v Î V / w = T(v).
üT: V ® W es un isomorfismo si, y sólo si, T es biyectiva. Es decir, T es un isomorfismo si y sólo si es un monomorfismo y un epimorfismo.
üT: V ® W es un endomorfismo si y sólo si V = W.
üT:V ® W es un automorfismo si y sólo si T es un isomorfismo y un endomorfismo.
Para todo espacio V, la función identidad, I: V  V, que a todo vector v  V le asocia el mismo vector v, es una transformación lineal de V en V. Se indicará esta transformación con la notación IV cuando sea necesario distinguirla de la función identidad en otro espacio vectorial.
Dados dos espacios V y W, la funcióncero, 0: V  W, en la que todo vector v  V tiene por imagen el vector 0W, también es lineal.
Siguen algunos ejemplos de transformaciones lineales.
 
1. Sea V un espacio de dimensión finita y sea  v1,...,vm  una base de V sobre R. Se define una función T: V  R, asignando como imagen a cada vector v = a1v1 +...+ amvm el número a1. Esta es una transformación lineal porque si
v = b1v1+...+ bmvm, entonces:
T(av + bv) = T[(aa1 + bb1)v1 +...+ (aam + bbm)vm] =
aa1 + bb1 = aTv + bTv.
2. Usando la misma notación del ejemplo anterior, la función T: V  Rm definida por:
T(a1v1 +...+ amvm) = (a1,...,am), es lineal.
3. La derivación de polinomios, D: R[X]  R[X], es lineal.
4. Sea V el espacio de los vectores de un plano y sea
w  V un vector de norma 1. Lafunción T: V  V que a cada v  V le asocia la proyección ortogonal de v sobre w es lineal, porque la proyección de v es Tv = (v.w)w y
T(au + bv) = [(au + bv).w]w = a(u.w)w + b(v.w)w = aTu +bTv.
5. Si V = V1  V2, todo v  V se escribe en la forma v = v1 + v2, con v1  V1 y v2  V2 únicos. Se define entonces la proyección de V sobre V1 según V2, como la función T: V  V...