UNIDAD I

UNIDAD I.- DIFERENCIAL.

La notación para la derivada de la función y=f(x) es:



En donde el símbolo representa el límite del cociente cuando .

Si la derivada de f(x) es f’(x) para un valorespecifico de variable independiente “x” y su incremento , la diferencial de la función dada se denota con el símbolo df(x), y se define por la expresión:


DEFINICIÓN:

La diferencial de una función esigual al producto de su derivada por el incremento o diferencial de la variable independiente.

EJERCICIOS:

Determinar las diferenciales de las siguientes funciones.

1. Si x=2

2. y = 3x2

3.y = 5x3 Para x=2 y dx=0.02

4. y = ax3

5. Para x = 5 y =dx=0.05

6. y = sen 3x2

7. y = axtgx2
INTERPRETACIÓN GEOMETRICA

Gráficamente tenemos:



Sea y=f(x) la función dada y sudiferencial f’(x), que se identifica como el valor de la derivada en P; si el incremento de la variable independiente =dx=PB, con base en la definición de diferencial resulta:
Y = f(x)
dy = f’(x) dxRecordando que el valor de la derivada en cualquier punto de una curva es igual a la pendiente de la tangente a la curva en dicho punto, tenemos:

f’(x) = tg  dx = PB
dy = f’(x) dx
dy = tg (PB)
Con base a la grafica, tenemos que:

Tg  =



Sustituyendo, obtenemos:
Dy = tg  (PB)

Dy = (PB) = BC

 dy = BC


Si dx representa un incremento cualquiera de la variable independiente “x”para un punto P(x, y) de la curva y = f(x), tiene por derivada tg 

Generalmente la diferencia de la función (dy) y el incremento (∆y) no son iguales, por ejemplo:

De la grafica tenemos que:
Dy = BCIncremento de la ordenada de la tangente en P.
∆y = BP’ Incremento de la ordenada de la función de P a P’.

EJERCICIOS:

1. Dado y = 4x2 – 3x + 1 ; encontrar ∆y y dy para:
a.Cualquier “x” y ∆x.
b. X = 2 , ∆x = 0.1
c. X = 2 , ∆x = 0.01
d. X = 2 , ∆x = 0.001

2. Si y = 5x2 , encontrar:
a. ∆y y dy para cualquier valor de “x”.
b. Completa la siguiente tabla:

x
∆x
∆y
dy...