Unidad V Resoluci N De EDO Por Series

Resolucion de EDO por Series
Bueno, última unidad de ecuaciones diferenciales…
Esta materia es más pajera que la anterior y son muchos pasos y detalles, lo que hace que sea
bastante complicado.
Lo primero que debemos repasar es series de potencias, porque estoy seguro que muchos no lo
recuerdan, además que en cálculo II apenas se lo pasaron a los cursos no pilotos.
El contenido es como sigue:Series de Potencias
Solución en puntos ordinarios
Solución en puntos singulares regulares
No vamos a ver ecuaciones malignas como la de Legendre o Bessel, son muy feas y en realidad
nunca entran en las pruebas, so, para qué. xD
Además que estoy seguro que no apreciaran esas ecuaciones y sus aplicaciones malignas. xD
En fin, divago. xD
Con este resumen terminamos ecuaciones, dudo haga guías conejercicios resueltos de series y
sistemas, pues las dos materias son muy pajeras. ¬¬
En fin.
Con esto estamos.
Brian Keith N.

Series de Potencias
Aquí les dejo un pequeño recuento de las cosas más importantes.
-Las series son polinomios infinitos.
-Todas las propiedades de las series normales se transfieren a estas.
-Serie de potencias centrada en .
(

∑

)

-Serie centrada en 0. (

)

( )

∑

-Lasseries de potencias tienen un intervalo de convergencia, que es el intervalo que puede tomar
X para que la serie converja.
1. La serie es absolutamente convergente solo para
2. La serie es absolutamente convergente para todo .
3. La serie tiene un intervalo de convergencia donde se llama radio de convergencia. En los
casos 1 y 2 el radio vale e infinito respectivamente.
- Para analizar laconvergencia de una serie de potencias recurrimos al criterio de la razón, el
criterio dice que la serie converge cuando
, donde L viene dado por el siguiente límite:
||

|

|

-El radio de convergencia viene dado por:
-El intervalo de convergencia, de forma (

) puede o no incluir los extremos.

-Una serie de potencias es equivalente a una función en su intervalo de convergencia.
-Una serie de potenciaspuede ser derivada término a término de la siguiente forma, en orden, la
serie, la primera derivada y la segunda. Noten que cambia el número por el que empieza la serie.
∑

(

)

∑

(

)

∑ (

)

(

)

-Tal y como son derivadas las series pueden ser integradas, pero en este caso el número por
donde empieza no cambia.
-Las series de potencia se pueden sumar término a término si tienen un intervalo deconvergencia
común.

-Una serie de potencias converge absolutamente si al evaluarla en valor absoluto esta serie
converge.
-Una función se le dice analítica en
forma:
∑

(

si se le puede expresar como una serie de potencias de la

)

-Una función analítica en un punto tiene bien definida todas sus derivadas en ese punto.
-Si una función no tiene todas sus derivadas bien definidas en un punto nopuede ser analítica.
-Una función analítica en un punto se puede escribir como serie de potencias usando la fórmula
de expansión de Taylor. Esta aproximación es válida para todo X que pertenezca al intervalo de
convergencia.
( )( )
(
)
∑
-Una función analítica en 0 se puede escribir como serie de potencias usando la fórmula de
expansión de Maclaurin, que no es más que un caso particular de laexpansión de Taylor.
( )
( )
∑

-Una función que tiene serie de Taylor en un punto, es analítica en dicho punto.
-Una función polinomial siempre es analítica para todos los puntos de la recta real.
-Una función racional de la forma:
( )
( )
( )
Donde ( )y ( ) son polinomios sin factores comunes, es analítica en todos los puntos de la
recta real excepto aquellos donde ( )
.
-Si ( ) y ( )son funcionesanalíticas en un punto, entonces también son analíticas en ese punto
las siguientes funciones:
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
Con ese pequeño repaso de series de potencias estamos listos, ahora simplemente necesitamos
una tabla de Series de Maclaurin asociadas a cada función y sus intervalos de convergencia.
La mayoría de los ejercicios requieren que se desarrollemos potencias en torno a 0, luego lo...