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UNIDAD 2 : FUNCIONES
Antes de comenzar el estudio de las funciones debemos hacer un breve repaso sobre valor absoluto junto con
algunas de sus propiedades, los intervalos abiertos y los intervalos cerrados ya que estos conceptos serán
utilizados en esta unidad.
2.1. VALOR ABSOLUTO
El valor absoluto x de un número real x se define como sigue:
 x si x ≥ 0
x =
− x si x < 0

Además:
x2= x

x = a ⇔ x = ±a

x ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a
x ≥ a ⇔ x ≥ a o x ≤ −a

2.2. INTERVALOS FINITOS
Un intervalo abierto (a, b ) es el conjunto de todos los números reales x mayores que a y menores que b .
Es decir:

(a, b ) = {x ∈ R : a < x < b}
a

b

x

Un intervalo cerrado [a , b ] es el conjunto de todos los números reales x mayores o iguales que a y
menores o iguales que b . Es decir:[a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b}
a

b

x

2.3. INTERVALOS INFINITOS
Un intervalo (a, ∞ ) es el conjunto de todos los números reales x mayores que a . Es decir:

(a, ∞ ) = {x ∈ R : a < x}
a

x

Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA

Funciones

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Un intervalo [a, ∞ ) es el conjunto de todos los números reales x mayores o iguales que a . Es decir:

[a, ∞ ) = {x ∈ R : a ≤ x}
xa

Un intervalo (− ∞, b ) es el conjunto de todos los números reales x menores que b . Es decir:

(− ∞, b ) = {x ∈ R : x < b}
x

b

Un intervalo (− ∞, b] es el conjunto de todos los números reales x menores o iguales que b . Es decir:

(− ∞, b] = {x ∈ R : x ≤ b}
x

b

Ejemplo No. 26: Resuelva la siguiente desigualdad y represente gráficamente el intervalo solución: 2 x − 3 < 5Solución:
2x − 3 < 5 ⇔ − 5 < 2x − 3 < 5
⇔ − 5 + 3 < 2x − 3 + 3 < 5 + 3
⇔ − 2 < 2x < 8
2 2x 8
⇔ − <
<
2 2 2
⇔ −1 < x < 4

La solución de la desigualdad anterior es el intervalo: (− 1, 4 )
La representación grafica del intervalo solución es:
-1

4

x

EJERCICIOS PROPUESTOS No. 6
En cada caso resuelva la desigualdad y represente gráficamente el intervalo solución:
1. x − 2 <

12

2. x + 3 > 1
3.

x
−2 ≤4
3

4. x 2 − 8 x + 12 > 0
5. x 2 − x − 2 ≤ 0
6. x 2 < 4

Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA

Funciones

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Estudiaremos el concepto de función a partir de un ejemplo el cual llamaremos un estudio de caso:
ESTUDIO DE CASO: Un granjero tiene 24 m de cerca y desea encerrar un terreno rectangular limitado por un rio
de orilla recta. Expresaremos elárea del terreno en términos de la longitud del ancho del terreno. Además
determinaremos las dimensiones que debe tener el terreno de tal manera que su área sea la más grande (área
máxima)
Consideremos la siguiente figura:
y
x

Supondremos que el terreno tiene un largo y y un ancho x . Por lo
tanto el área del terreno es:
A = xy

La ecuación anterior expresa el área A del terreno entérminos del
largo y y del ancho x . Pero debemos expresar A en términos de x .
Para tal efecto debemos tener en cuenta que el granjero solamente dispone de 24 m cerca para encerrar el
terreno es decir:
2 x + y = 24

Ahora despejemos y en la ecuación anterior: y = 24 − 2 x
Y remplacemos y en la ecuación del área:
A = x (24 − 2 x )

A = 24 x − 2 x 2

La ecuación anterior expresa el área Adel terreno en términos del ancho x . Es decir A depende de x
Según el ejemplo la magnitud A depende de la magnitud x . Esto es lo mismo que decir A está en función de x .
Esta dependencia entre A y x se simboliza:
A( x ) = 24 x − 2 x 2

La variable A se denomina variable dependiente.
La variable x se denomina variable independiente.
Veamos qué pasa con el área A si el ancho del terreno esigual a 4 . Es decir si x = 4 :
Si x = 4 , entonces A = 24(4 ) − 2(4)2 ⇒ A = 64
Lo anterior se denota de la siguiente manera:
A(4 ) = 64

Y se denomina evaluar el área A en x = 4

Esp. LEIDER E. SALCEDO GARCIA

Funciones

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Calculemos A(0 ) :
A(0 ) = 24(0 ) − 2(0 ) ⇒ A(0 ) = 0
2

Es claro que x no puede ser 0 ya que A valdría 0 . Además x no puede ser negativo ( x < 0...