Unlam Computacion 2

UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA MATANZA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA E INVESTIGACIONES TECNOLÓGICAS ALGEBRA Y GEOMETRÍA ANALÍTICA I - 2011

TRANSFORMACIONES LINEALES Los alumnos que han cursado Análisis I (o en su defecto lo han visto en el Curso de Admisión), podrán recordar el concepto de función. Si A y B son conjuntos arbitrarios, una función f : A B es una relación entre los elementos de A y Bque a cada elemento x de A le asigna un único elemento y de B Escribimos y  f ( x ), "y" es la imagen de "x" por f. A se denomina dominio de la función y B codominio de la función. La imagen de f es el subconjunto de B constituido por las imágenes de todos los elementos de A. Es decir: Im ( f )  {y B/ existe x A que cumple: y  f ( x )} También podíamos clasificar a las funciones del siguientemodo: La función es suryectiva o sobreyectiva si cumple que B  Im ( f ) La función es inyectiva si no existen dos o más elementos de A con la misma imagen. Es decir: Si f(x)  f(x’), entonces x x’, o lo que es lo mismo decir Si x x’, entonces f(x) f(x’). La función es biyectiva si es inyectiva y suryectiva. Una función particular es aquella que va de un conjunto A al mismo conjunto(f: A A) ycumple; f ( x )  x x A. A f se la denomina función identidad. También es posible que el codominio de una función sea el dominio de otra. En ese caso podemos aplicar la segunda función sobre los elementos resultantes de la imagen de la primera y estamos haciendo una composición de funciones. Si f: A B y g: B C son dos funciones de modo que el codominio de f coincide con el dominio de g, la funcióncompuesta gof : A C se define por: go f (x )  g [ f ( x ) ] x A. En particular hemos trabajado con funciones que van del cuerpo de los números reales en los reales , o sea f: R R.

Ahora es posible establecer funciones que tengan como dominio a un espacio vectorial y como codominio a otro espacio vectorial (puede ser el mismo que el dominio). O sea establecer una función por ejemplo entre R 2 y R 3. Con esto se ampliaría enormemente las posibilidades de establecer dominios y codominios. Por otro lado deberemos restringir cuales son las funciones posibles de ser utilizadas en este caso. Veamos algunos ejemplos 1) Sea f: R 2 R 2 , definida por f(x,y)(x,0). O sea que la función se aplica sobre un par ordenado (elemento de R 2 y da por resultado otro par ordenado que tiene igual la primercomponente y nula la segunda. Podríamos representarla graficamente.

1 - Algebra y Geometría Analítica I - 2011 - Transf. Lineales - UNLAM

Figura 1 Lo que hace esta aplicación es proyectar el vector sobre el eje x. Es evidente que es una función porque a cada vector de R 2 le hace corresponder un solo vector sobre el eje x (aunque más de un vector tenga como imagen el mismo vector , la funciónno es inyectiva). Obviamente tampoco es suryectiva porque la imagen de todo R 2 se aplica sobre el eje real de abscisas , o sea que la imagen no coincide con el codominio que es R2. Ahora podemos analizar dos propiedades que presenta esta función.

Figura 2

2 - Algebra y Geometría Analítica I - 2011 - Transf. Lineales - UNLAM

Figura 3 En este caso vemos que es lo mismo sumar los vectores uy v y proyectar sobre el eje x que proyectar a cada uno de los vectores y luego sumar las proyecciones. O sea que f(u v )f(u)f( v ) También podemos ver lo siguiente: O sea que cuando multiplicamos a un vector por un escalar (en este caso 3) da lo mismo multiplicar el vector y luego proyectarlo que proyectar el vector original y luego multiplicarlo por el escalar. En este caso f(3. v )3.f( v )Figura 4 En definitiva la función que hemos presentado cumple las siguientes condiciones: i) f x, y  x‘ , y‘ .....f(x,y)f(x‘,y‘) (x,y),(x‘,y‘) R 2 ii) f k. x, y  k.f(x,y) , (x,y) R 2 , k R Podemos analizar otra función f: R 2 R 2 , la cual podría ser la rotación de un vector en el sentido positivo (antihorario). Tomamos dos vectores u y v y los rotamos en sentido antihorario (podría

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