Valores_trigonométricos_exactos_de_la_función_seno_y_coseno

C. I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA

VALORES EXACTOS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS (SENO Y COSENO)
En trigonometría plana, es fácil de encontrar el valor exacto de la función seno y
coseno de los ángulos de 30°, 45° y 60°, gracias a la ayuda de triángulos rectángulos
y el uso de identidades trigonométricas en conjunto con el teorema de Pitágoras.
Todo parte de dos triángulos: uno equilátero y el otroisósceles. Si enfocamos nuestra
atención al triángulo equilátero, vemos que sus ángulos internos miden 60° (por
tratarse de un triángulo equilátero) y suponiendo que sus lados midan, por ejemplo,
la cantidad de dos, se tiene la siguiente figura:

60°
2

2

60°

60°
2

Este triángulo equilátero puede ser transformado, mediante una línea perpendicular
a una de sus bases, en dos triángulosrectángulos. Si tomamos de referencia a sólo
un triángulo rectángulo, obtenemos la siguiente figura:

30°
2

a

60°
1
Al aplicar el Teorema de Pitágoras, se obtiene que = √3. Entonces el seno y coseno
del ángulo de 30° y 60° pueden ser calculados. De ahí que se obtengan los siguientes
valores:
1
√3
sin 30° = sin 60° =
2
2
1
√3
cos 30° =
cos 60° =
2
2

C.I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA

Si ahora usamos un triángulo isósceles, vemos que dos de sus ángulos internos
miden 45° y el otro 90° y suponiendo que dos de sus lados miden la cantidad de uno,
llegaremos al siguiente triángulo:

45°

c

1
45°
1
Al aplicar el Teorema de Pitágoras, se obtiene que = √2.
Entonces el seno y coseno del ángulo de 45° pueden ser calculados. De ahí que se
obtengan lossiguientes valores:
sin 45° =

1
√2

cos 45° =

1
√2

En base a los ángulos de 30° y 45°, se puede calcular el seno y coseno de 15° en forma
exacta, debido al hecho de que 15°=45°-30°. Para ello, hay que recordar la fórmula
de adición de dos ángulos para las funciones seno y coseno:
sin( ± ) = sin cos ± cos sin
cos( ± ) = cos cos ∓ sin sin
Al usar estas dos fórmulas para

= 45° y… (1)
… (2)

= 30°, se obtiene que:

sin 15° = sin(45° − 30°) = sin 45° cos 30° − cos 45° sin 30°
=

√
√

−

=

√

√

… (3)

cos 15° = cos(45° − 30°) = cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°
=

√
√

+

=

√

√

… (4)

Llegando a éste punto y al observar las expresiones (3) y (4), es posible presentar de
otra manera éstosresultados, si hacemos uso de radicales anidados (también llamados
radicales jerarquizados). Debido a que es de vital importancia conocer este tema, haré
un paréntesis para dar a conocer lo básico sobre radicales anidados.

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Los radicales anidados, son expresiones radicales que contiene en su interior otra
expresión radical. Como por ejemplo:
3 − √5

6 + 2 √7

9 + 4√2 −3√6

Si nosotros tenemos una raíz cuadrada anidada, es posible expresarla como una
suma o resta de dos raíces cuadradas y viceversa. Es decir, se tiene la siguiente
expresión:
± √ =√ ±√

… (5)

Lo que nos interesa, es encontrar expresiones algebraicas para ,
de ser posible para y .

y . Y también,

Hay que darse cuenta que la expresión anterior, puede ser manipulada
algebraicamente, de tal formaque:
± √ =

+ ± 2√

Al igualar términos semejantes, nos queda el siguiente sistema de ecuaciones:
= +
=4

… (6)

Resolver ese sistema de ecuaciones, es relativamente fácil. Por lo tanto, al despejar
y , nos queda:
, =

±√

… (7)

Entonces, hemos encontrado expresiones que permiten simplificar una raíz
cuadrada anidada en una suma de raíces cuadradas.
Volviendo a lo que encontramos en (3),veamos cómo expresar los resultados
obtenidos usando radicales anidados:
sin 15° =

√

√

=

− √

… (8)

De acuerdo con (6), se encuentra el valor de , , sabiendo que
= 6 + 2 = 8,

= 4(6)(2) = 4 ∙ 3 ⇒ = 4,

Sustituyendo estos valores en (3):

=6y
=3

= 2:

C. I. JORGE GABRIEL CHIÉ GARCÍA

sin 15° =

√6 − √2 1
=
8 − 4√3 =
4
4

2 − √3
2

Algo similar va a suceder con (4), de...