valores y vectores caracteristicos

Introducción
En este capitulo pretendemos estudiar los métodos numéricos mas importantes para calcular los valores y vectores propios de una matriz cualquiera. Es decir, dada una matriz A L(Rn), queremos hallar las  C para las cuales x Cn con x" =0 tales que Ax = x, donde  es un valor propio y x es el vector propio asociado a este valor propio.
Como los valores propios de una matriz son,también, las raíces de su polinomio característico p() = det(A - I), se podrá reducir el problema acalcular los ceros de este polinomio por alguno de los métodos ya vistos; pero, en general el calculo del polinomio característico de una matriz es excesivamente costoso y, además, pequeños errores en los coeficientes pueden dar graves errores en sus raíces. Este tipos de resolución solamente seutilizara en matrices muy sencillas como, por ejemplo, las tridiagonales y simétricas. Para matrices cuales quiera tenemos, básicamente, dos tipos de métodos:
Los métodos de tipo puramente iterativo, a través de los cuales, utilizando de forma reiterada un mismo tipo de transformación a la matriz inicial, se obtiene una sucesión de la cual se calculan uno o más valores propios. El mas conocido esel método de la potencia, que, asociado con métodos de deacion, nos permite ir hallando los distintos valores propios de la matriz.
Los métodos basados en la factorización de alguna manera particular de la matriz A, para obtener iterativamente una sucesión de matrices con los mismos valores propios que converge a una matriz triangular superior. Como veremos, estos algoritmos no se aplicandirectamente sobre la matriz inicial, sino que previamente se transforma la matriz a una forma reducida: Hessenberg superior, o tridiagonal si la matriz inicial es simétrica.
El cálculo de valores y vectores propios aparece, por ejemplo, en algunos problemas de mecánica, en las vibraciones de estructuras, en la optimización y estudio de la estabilidad de otros métodos numéricos iterativos, etc.
1.Valores y vectores característicos
1.1 Definición de valores y vectores característicos de una matriz cuadrada
En álgebra lineal, los vectores propios, autovectores o eigenvectores de un operador lineal son los vectores no nulos que, cuando son transformados por el operador, dan lugar a un múltiplo escalar de sí mismos, con lo que no cambian su dirección. Este escalar  recibe el nombre valor propio,autovalor, valor característico o eigenvalor. A menudo, una transformación queda completamente determinada por sus vectorespropios y valores propios. Un espacio propio, autoespacio o eigenespacio es el conjunto de vectores propios con un valor propio común.
Las transformaciones lineales del espacio—como la rotación, la reflexión, el ensanchamiento, o cualquier combinación de las anteriores; enesta lista podrían incluirse otras transformaciones—pueden interpretarse mediante el efecto que producen en los vectores. Los vectores pueden visualizarse como flechas de una cierta longitud apuntando en una dirección y sentido determinados.
Los vectores propios de las transformaciones lineales son vectores que, o no se ven afectados por la transformación o se ven multiplicados por un escalar queno varía su dirección.
El valor propio de un vector propio es el factor de escala por el que ha sido multiplicado.
Un espacio propio es un espacio formado por todos los vectores propios del mismo valor propio, además del vector nulo, que no es un vector propio.
La multiplicidad geométrica de un valor propio es la dimensión del espacio propio asociado.
El espectro de una transformación enespacios vectoriales finitos es el conjunto de todos sus valores propios.
Por ejemplo, un vector propio de una rotación en tres dimensiones es un vector situado en el eje de rotación sobre el cual se realiza la rotación. Elvalor propio correspondiente es 1 y el espacio propio contiene a todos los vectores paralelos al eje. Como es un espacio de una dimensión, sumultiplicidad geométrica es uno. Es el...