Valores Y Vectores Propios

Valores y Vectores Propios
Departamento de Matem´ticas, CSI/ITESM a 1 de abril de 2009

´ Indice
9.1. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . Determinaci´n de los valores propios . . . . o El teorema del factor . . . . . . . . . . . . . Multiplicidad algebraica de un valor propio Espacios Invariantes . . . . . . . . . . . . . Multiplicidad geom´trica de unvalor propio e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 5 6 6 7

9.1.

DefinicionesDefinici´n o Sea A una matriz cuadrada, un n´mero real λ se dice que es un valor propio o un eigenvalor o un valor u caracter´ ıstico de A si existe un vector, diferente del vector cero, x tal que: Ax = λx Es decir, es un vector que al transformarlo mediante la multiplicaci´n por A el vector resultante mantiene o su direcci´n, posiblemente s´lo su longitud y/o sentido se modifique. El vector x se llamavector propio o o o eigenvector asociado al valor propio λ. Ejemplo Para la matriz A indique cu´les vectores son vectores propios. a A= v1 = 1 1 , v2 = 2 3 1 2 2 1 , v3 = −1 1 , v4 = 0 2

Soluci´n o Debemos multiplicar cada vector por la matriz A y ver si el vector resultante es un m´ltiplo escalar del vector. u Av1 = 1 2 2 1 1 1 = 3 3 =3 1 1

v1 s´ es vector propio de A asociado al valorpropio 3. ı Av2 = v2 no es vector propio de A. Av3 = 1 2 2 1 −1 1 = 1 −1 = −1 −1 1 1 2 2 1 2 3 = 8 7 =k 2 3

v3 s´ es vector propio de A asociado al valor propio -1. ı Av4 = v4 no es vector propio de A. Ejercicio 1 Cu´les son vectores propios a la matriz a  − 33 2
51 2 121 4 27 2 57 4

1 2 2 1

0 2

=

4 2

=k

0 2

 A =  − 83 4 
57 4

   

− 75 4

− 27 4

 EjemploEl vector

           −3 −1 4 6 1 0  −3  ,  2  ,  2  ,  8  ,  −1  ,  1  2 −5 2 −6 4 −1

 2 v= 4  −4  5 0 3 A =  16 1 18  5 5 −2 0 −2 



es un vector propio de la matriz

Determine el valor propio al cual est´ asociado. a Soluci´n o Determinemos Av:        2 −2 2 5 0 3  16 1 18   4  =  −4  = −1  4  5 5 −4 4 −2 0 −2 −4 Por tanto, v est´asociado al valor propio λ = −1 de la matriz A. a Ejercicio 2 Los vectores        9 0 1 −3  −2  ,  2  ,  6  ,  6  −3 0 −2 1   5 0 3 A =  16 1 18  . 5 5 −2 0 −2  Determine los valores propios a los cuales est´n asociados. a

s´ son vectores propios de la matriz ı

2

9.2.

Determinaci´n de los valores propios o

Sea λo un valor propio de la matriz cuadrada A, as´ existe unvector diferente cero de xo tal que: ı Axo = λo xo = λo In xo Por tanto: Axo − λo In xo = (A − λo In ) xo = 0 Si B = A − λo In lo anterior significa que el sistema homog´neo n × n e Bx = 0 tiene adem´s de la soluci´n trivial otra soluci´n (x = xo = 0). Por consiguiente, no tiene soluci´n unica. a o o o ´ por tanto, el determinante de la matriz B debe ser cero: det(B) = det (A − λo In ) = 0.Resumiendo: Todo valor propio λo debe ser ra´ del polinomio caracter´ ız ıstico asociado a A: pA (λ) = det (A − λIn ) y un vector propio asociado al valor propio λ debe ser soluci´n al sistema homog´neo: o e (A − λIn ) x = 0 Ejemplo Determine los valores y los vectores propios correspondientes de las matrices: A1 = Soluci´n o Para A1 : pA (λ) = det (A − λI2 ) = det pA1 (λ) = det 1 2 2 1 − λ 0 0 λ 1 2 21 = det −λ 1 0 0 1 1 2 2 1 , A2 = 1 1 0 1 , A3 = 1 2 −1 2 (2) (1) Y

1−λ 2 2 1−λ

pA1 (λ) =

1−λ 2 2 1−λ

= (1 − λ)2 − 4

pA1 (λ) = λ2 − 2λ − 3 = (λ − 3) (λ + 1) Por tanto, los unicos valores propios de A1 son λ1 = 3 y λ2 = −1. ´ Vector propio para λ1 = 3 Debe ser soluci´n al sistema homog´neo: o e (A1 − λI2 ) x = 0 Es decir: 1 2 2 1 − (3) 3 1 0 0 1 x=0

Desarrollando y finalmente...