Variable Aleatoria v5

Variables Aleatorias

Introducción
El concepto de variable aleatoria permite pasar de los resultados
experimentales a una función numérica de los resultados.
En general, cada resultado de un experimento se puede asociar con
un número que especifica una regla de asociación (p. ej. la cantidad
entre la muestra de diez componentes que no duran 1000 horas. o
el peso total de equipaje de unamuestra de 25 pasajeros de una
aerolínea).
Esta regla de asociación se llama variable aleatoria, una variable
porque solo son diferentes valores numéricos, y aleatoria porque el
valor observado depende de cuál de los resultados experimentales
posibles resulte.
Hay dos tipos de variables aleatorias, variables aleatorias discretas
y variables aleatorias continuas.

Definición
Una v.a. es una funciónque asigna a cada punto del espacio muestral
un número real

X:Ω

R

Ejemplo:
ε: Estado de las unidades producidas en un proceso de fabricación
Ω ={ falla , no falla }
X({no falla}) = 0
X({falla}) = 1

ε: Estado de las unidades producidas en un proceso de fabricación

Ω
Espacio Muestral

no falla

X({no falla}) = 0

A cada s ∈ Ω
le corresponde
exactamente
un valor X(s)

falla

X({falla}) = 1

IR−∞

0

X:Ω

1

Rx ∈ IR

+∞

Conjunto
Números
Reales

Observaciones

Ω

si

X(s) = b; s ∈ Ω

A
sk
X(s) = a

RX
a

b

• El espacio RX es el conjunto de TODOS los posible valores de X(s).
• En cierto sentido podemos considerar Rx como otro espacio muestral
• El espacio muestral original

Ω “induce” un espacio muestra Rx asociado

a la Variable Aleatoria X
• Luego un evento A en Ω

induce un eventoAx en el espacio muestral RX

Ejemplo:
X: Número de caras al lanzar 3 monedas.
Elementos del
espacio muestral

+++

++C +C+

C++

CC+

C+C

+CC CCC

Ley de
correspondencia

Nº reales
(# de caras)

0

1

Establecer una variable aleatoria para un
experimento aleatorio no es más que una
manera de asignar de "manera natural"
números a los eventos.

2

3 caras

X :E →ℜ
w → X ( w)

Eventos deinterés
si

X(s) = b; s ∈ Ω

A
sk
X(s) = a

RX

Nótese
que
para cada par
de
números
reales a y b
existen
los
siguientes
conjuntos:

a
(
(
[
[

a a a≤x a≤x≤b

(
(

x x≤b
x>a
x≥a

-∞
-∞

b
)
]
)
]

En el caso de un
solo número:
X=a o X=b

)
]
∞
∞

Función de Probabilidad
• El concepto de Probabilidad de ocurrencia de eventos en el
espacio muestral Ω se puede aplicar a eventos en RX.
0 ≤P(X(s) = x ) = f(x) ≤ 1
f(x)
1

Ω

f: R

[0, 1]

RX
0

X(s) = x

s
X: Ω

RX

Variable Aleatoria Discreta
• Sea X una variable aleatoria.
• Si

el número de posibles valores de X (esto es su RX).
- Es finito (contable) o.
- Es contablemente infinito (numerable).

• Entonces llamamos a X una variable aleatoria discreta.
• Esto es, los posibles valores de X pueden ser listados.
x1, x2, x3, ...., xn,.....
- En el caso contable la lista es finita.
- En el caso numerable la lista es infinita contable

Función de Probabilidad v.a. Discreta
A cada resultado posible xi se asocia un número f(xi) = P(X(s) = xi)
llamado la probabilidad de xi

Los f(xi) deben satisfacer

f(xi)

•

0 ≤ f(xi) ≤ 1; i = 1, 2, 3, ... , n

•

Σ f(xi) = 1
∀i

El conjunto de pares (xi, f(xi)) se le
denomina Función oDistribución de
Probabilidad o Cuantia.
x
x1

x2

x3

x4

x5

x6

xn

Ejemplo:
ε: Lanzar dos monedas legales
X: Número de caras que aparecen

Valores

Z
Z
Z

Z

X :E →ℜ
w → X ( w)

Probabilidad

0

1/4 = 0.25

1

2/4 = 0.50

2

1/4 = 0.25

p : ℜ → [0,1]
x → p( x) = P( X = x)

Observa que aun si el espacio muestral es infinito
numerable, también podemos definir una variable aleatoria
discreta y unafunción de probabilidad.
Ejemplo
Sea X = Número de lanzamientos de una moneda antes de
que aparezca una cara.
Entonces:
P(X = 1) = P(C) = 1/2
P(X = 2) = P(+C) = 1/2 . 1/2 = 1/4
P(X = 3) = P(++C) = 1/2 . 1/2 .
1/2 = 1/8
...
y en general P(X = n) = (1/2)n, n = 1,2,….
Demuestra que está normalizada.

Ejemplo
Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos el espacio muestral
Ω como:

Ω =...

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