Variable Compleja

Páginas: 722 (180266 palabras) Publicado: 11 de agosto de 2015
Carlos Ivorra Castillo

FUNCIONES DE
VARIABLE COMPLEJA
´
CON APLICACIONES A LA TEOR´
IA DE NUMEROS

El camino m´
as corto entre dos verdades del
an´
alisis real pasa por el an´
alisis complejo.
Jacques Hadamard

´Indice General
Introducci´
on

ix

Cap´ıtulo I: El plano complejo
1.1 Funciones de variable compleja . . . .
1.2 Transformaciones de M¨
obius . . . . . .
1.3 Las funcionestrigonom´etricas inversas
1.4 Arcos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 ´Indices de arcos cerrados . . . . . . . .

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1
3
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Cap´ıtulo II: Funciones holomorfas
25
2.1 Derivaci´
on de funciones complejas . . . . . . . . . . . . . . . .. 26
2.2 La integral curvil´ınea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 El teorema y las f´
ormulas de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Cap´ıtulo III: Series de Taylor
3.1 Series . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Convergencia casi uniforme . .
3.3 Series de potencias . . . . . . .
3.4 Consecuencias de los desarrollos

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de

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Taylor

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50
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62
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Cap´ıtulo IV: Productos infinitos
4.1 Productos num´ericos . . . . . . . . . .
4.2 Productos de funciones . . . . . . . . .
4.3 Factorizaci´
on de funciones holomorfas
4.4 N´
umeros de Bernoulli . . . . . . . . .
4.5 La f´
ormula de Stirling . . . . . . . . .

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. 84
. 91
. 99
. 106

Cap´ıtulo V: El teorema de Cauchy
5.1 El teorema de Cauchy para ciclos . . .
5.2 Abiertos simplemente conexos . . . . .
5.3 Series de Laurent . . . . . . . . . . . .
5.4 Clasificaci´on de singularidades aisladas
5.5 Funcionesperi´
odicas . . . . . . . . . .
5.6 El teorema de Runge . . . . . . . . . .

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v

111
111
116
120
126
133
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´INDICE GENERAL

vi

Cap´ıtulo VI: La funci´
on factorial
145
6.1 Construcci´
on de la funci´
onfactorial . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.2 Otras expresiones para la funci´
on factorial . . . . . . . . . . . . . 149
6.3 El teorema de Wielandt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
Cap´ıtulo VII: Series de Dirichlet
7.1 Convergencia de las series de Dirichlet
7.2 Funciones aritm´eticas . . . . . . . . .
7.3 Permutaciones circulares . . . . . . . .
7.4 El teorema de Dirichlet .. . . . . . .
7.5 La distribuci´
on de los n´
umeros primos

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181
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Cap´ıtulo VIII: El teorema de los residuos
8.1 Residuos . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Aplicaciones al c´alculo de integrales .
8.3 Elteorema de Rouch´e . . . . . . . . .
8.4 Sumas de Gauss cuadr´
aticas . . . . . .

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217
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Cap´ıtulo IX: Funciones Harm´
onicas
9.1 Relaci´on con las funciones holomorfas .
9.2 Propiedades de las funciones harm´
onicas
9.3 Funciones subharm´
onicas . . . . .. . .
9.4 El problema de Dirichlet . . . . . . . . .

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Cap´ıtulo X: Funciones enteras
279
10.1 Orden de crecimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280
10.2 El teorema peque˜
no de Picard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....
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