Variables aleatorias

ESTADÍSTICA ll

“VARIABLES ALEATORIAS”



Esquema:

1. Definición de Variables Aleatorias.

2. Función de Distribución acumulativa.

3. Variables aleatorias continuas y discretas.

4. Esperanza matemática de las funciones de probabilidad continua y disgusto.

5. Probabilidades de E(X) y Var.(X).

6. Función Generadora de momentos.

7. Mediana,moda y percentil en la distribución de una variable aleatoria.

8. Distribución conjunta de dos o más variables aleatorias.

9. Distribución condicional de dos o más variables aleatorias.

10. Variables aleatorias dependiente e independientes.

Desarrollo

1. Definición de Variables Aleatorias:
Se llama variable aleatoria a toda función que asocia a cada elemento delespacio muestral E un número real. Se utilizan letras mayúsculas X, Y,... para designar variables aleatorias, y las respectivas minúsculas (x, y, ...) para designar valores concretos de las mismas.
Una variable aleatoria es un valor numérico que corresponde al resultado de un experimento aleatorio, como por ejemplo, la suma de los puntos obtenidos al lanzar dos dados, el número de lanzamientos de undado hasta que aparece el cuatro, el número de personas que suben en un determinado ascensor al mes, el tiempo de espera en la sala de un doctor...

2. Función de Distribución acumulativa:
La Función de Distribución Acumulada corresponde a la probabilidad de que la variable aleatoria
tome un valor numérico menor o igual a x, o representa el acumulo de las probabilidades hastaalcanzar el valor de interés. Simbólicamente, lo anterior se expresa como:
Por ejemplo,; es la probabilidad de que la variable aleatoria tome el valor numérico menor o igual a 3.
La función de probabilidad acumulada F(x) cumple con las siguientes propiedades:
-La gráfica de la función nunca decrece.
-El valor de la función de probabilidad acumulada cuando el valor de la variable es demasiadogrande se acerca a uno
-El valor de la función de probabilidad acumulada cuando el valor de la variable es demasiado pequeño se acerca a cero.
3. Variables aleatorias continuas y discretas:
Variables Aleatorias Continuas: Sea X una v.a. diremos que es continua cuando toma un número infinito no numerable de valores, es el caso de los intervalos de R o todo R. Es aquella que puede tomartodos los valores posibles dentro de un cierto intervalo de la recta real.
Por ejemplo, Un estudio estadístico quiere conocer la duración de un conjunto de bombillas, para ello se define la v.a. X="duración de una bombilla”. La v.a. así definida es una variable continua pues puede tomar cualquier valor mayor que 0.
Variables Aleatorias Discretas: Dada una variable aleatoria diremos que esdiscreta si toma un número finito o infinito numerable de valores, sólo puede tomar valores enteros.
Por ejemplo, Sea el experimento consistente en lanzar dos dados al aire. El conjunto de posibles resultados, esto es, el espacio muestral está formado por = { (i , j) : i=1,2,...,6 =1,2,...,6 }. Definimos la variable aleatoria X como la suma de las puntuaciones de los dos dados. La variable así definidaasocia a cada elemento de un número real, X(i,j) = i+j. Claramente la variable aleatoria así definida es discreta al tomar un número finito de valores, en concreto los naturales comprendidos entre 2 y 36, ambos inclusive...
4. Esperanza matemática de las funciones de probabilidad continua y discretas:
En estadística la esperanza matemática (también llamada esperanza, valor esperado, mediapoblacional o media) de una variable aleatoria X, es el número E(x) que formaliza la idea de valor medio de un fenómeno aleatorio.
Cuando la variable aleatoria es discreta, la esperanza es igual a la suma de la probabilidad de cada posible suceso aleatorio multiplicado por el valor de dicho suceso. Por lo tanto, representa la cantidad media que se "espera" como resultado de un experimento...