Variables aleatorias

Probabilidad y Estadística

VARIABLES ALEATORIAS.
Variable aleatoria:
Es aquella cuyo valor es un número determinado por el resultado de un experimento
aleatorio.
Discretas; x=x1,x2,…,xnVARIABLES
Continuas; a≤ x≤ b

{

Experimento: observación del resultado de lanzar una moneda.
Tomemos una relación
x
→ P(x) = f (x)
R:
↑
variable
aleatoria

↓
F(X)

↑
función deprobabilidad

Función de distribución
. acumulada

E2

…

Densidad; variable
aleatoria. continua
Masa
Densidad

{

{
En

Media
Coeficiente de
variación
Varianza
Desviación estándar

{Población ; N elementos

E1

{

Masa; variable aleatoria
. discreta

Media
Varianza
Desviación estándar

n

ESPACIO MUESTRAL
Esperanza matemática:

2

E{X}=µx

E{(X-µx) }=σxValor esperado de X

2

Esperanza matemática o valor esperado de

(X-µx)

2

n

n

E{X }
origen

CCasos generales:
momomentos con
resrespecto al

E{(X-µx) }
MEDIA

Métodosalternativos para obtener E { h(x) :}
Transformada de Laplace.
Función generatriz de momentos.
Transformada Z.
Esperanza Matemática
Sea x una variable aletoria y f(x) su función de probabilidad yh(x) una función de x. La
esperanza matemática de h(x) se denota E{h(x)} y se define:
Caso continuo:
{Š{š{{
{Š{š{
{Š{š{

š{

{š . L {$ {

Š{š{ ˆ{š{ †š
š ˆ{š{ †š

L

{š . L {$ ˆ{š{†šú$
L

Caso discreto:
˗{˨{˲{{
˗{Š{š{

˨{˲{ ˦{˲{

š{

š˦{˲{

{š . L {$ {

˗{Š{š{

JIJI ˮJˤJ ˰IˬJJ ˤ˥ ˲
JIJI ˮJˤJ ˰IˬJJ ˤ˥ ˲

L

{š . L {$ ˦{˲{

ú$
L

JIJI ˮJˤJ ˰IˬJJ ˤ˥˲

Propiedades de la esperanza matemática : E{ c1 h(x) + c2g(x)}=c1E{h(x)}+c2E{g(x)}
Ejemplo de Aplicación: Otra forma de obtener la varianza o variancia:
2

2

E{ (x- x) }=E{x -2x

2
2x+ x }=E{x }-2 x

E{x}+

x E{1}

2

2

2

= σx =E{ (x- x) }= E{x } -

2
x

Ejemplo 1. Dada una experiencia aleatoria que consiste en lanzar un par de dados una sola vez,
determinar:...