Variados

5
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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS, EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS

REFLEXIONA Y RESUELVE A vueltas con la noria
■

Modificando la escala, representa la función: x : tiempo transcurrido y : distancia al suelo correspondiente a cuatro vueltas de la noria.
DISTANCIA AL SUELO

TIEMPO

1 vuelta

DISTANCIA AL SUELO

TIEMPO 1 vuelta 2 vueltas 3 vueltas 4 vueltas

Muchas, muchasamebas
a) Calcula el número aproximado de amebas que habrá según pasan las horas y completa esta tabla en tu cuaderno:
(horas) 0 1 1 2 2 4 3 4 5 6

TIEMPO

N.º DE AMEBAS

Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

1

b) Representa gráficamente estos datos en una hoja de papel cuadriculado.

N.º DE AMEBAS

40 30 20 10
TIEMPO

1 2

3 4 5

6

(horas)c) Cambia los ejes y representa la función cuyas variables sean, ahora: x : número de amebas y : tiempo (en horas) a)
TIEMPO

(horas)

0 1

1 2

2 4

3 8

4 16

5 32

6 64

N.º DE AMEBAS

b)

N.° DE AMEBAS

60 50 40 30 20 10 1 2 3 4 5 6
TIEMPO (horas)

c)

TIEMPO (horas)

6 5 4 3 2 1 10 20 30 40 50 60
N.° DE AMEBAS

Desintegración radiactiva
a) Completa latabla siguiente (utiliza la calculadora para obtener los valores con tres cifras decimales):
TIEMPO

(años) (kg)

0 1

1

2

3

4

5

6

SUSTANCIA

0,5 0,250 0,125

2

Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

UNIDAD

5

b) Representa gráficamente los datos en papel cuadriculado.
PESO

1,000 (en kg)

0,500 0,250 0,100
TIEMPO

(en años) 12 3 4 5 6

c) Cambia los ejes y representa la función cuyas variables son, ahora: x : peso de la sustancia radiactiva (en kg) y : tiempo transcurrido (en años) a)
TIEMPO

(años) (kg)

0 1

1 0,5

2

3

4

5

6

SUSTANCIA

0,250 0,125 0,063 0,031 0,016

b)

PESO (kg)

c)
TIEMPO (años)

1,000

0,500

6 5 4 3 2 1
PESO (kg)

0,100 0,100 1 2 3 4 5 6
TIEMPO(años)

0,500

1,000

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1. Si f (x) = x 2 – 5x + 3 y g (x) = x 2, obtén las expresiones de f [ g (x)] y g [ f (x)]. Halla f [ g (4)] y g [ f (4)]. f [g (x)] = f [x 2] = x 4 – 5x 2 + 3 g [ f (x)] = g [x 2 – 5x + 3] = (x 2 – 5x + 3)2 f [g (4)] = 179; g [ f (4)] = 1

Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

3

2. Si f (x) = sen x, g (x) = x 2 + 5, halla f °g, g ° f, f ° f y g ° g. Halla el valor de estas funciones en x = 0 y x = 2. f ° g (x) = sen (x 2 + 5); f ° g (0) = –0,96; f ° g (2) = 0,41

g ° f (x) = sen 2 x + 5; g ° f (0) = 5; g ° f (2) = 5,83 f ° f (x) = sen (sen x); f ° f (0) = 0; f ° f (2) = 0,79 g ° g (x) = (x 2 + 5)2 + 5; g ° g (0) = 30; g ° g (2) = 86

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1. Representa y = 2x, y = x/2 y comprueba que son inversas.
Y y = 2xy=x

y = x/2 X

2. Comprueba que hay que descomponer y = x 2 – 1 en dos ramas para hallar sus inversas respecto de la recta y = x . Averigua cuáles son. a) y = x 2 – 1 si x ≥ 0 y –1 = √ x + 1
Y y= x2 –1 y=x y = √x + 1 X X y = –√x + 1

b) y = x 2 – 1 si x < 0 y –1 = – √ x + 1
Y y = x2 – 1 y=x

3. Si f (x) = x + 1 y g(x) = x – 1, comprueba que f [g (x)] = x. ¿Son f (x) y g (x) funcionesinversas? Comprueba que el punto (a, a + 1) está en la gráfica de f y que el punto (a + 1, a) está en la gráfica de g. Representa las dos funciones y observa su simetría respecto de la recta y = x. f [g (x)] = f (x – 1) = (x – 1) + 1 = x

4

Unidad 5. Funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas

UNIDAD

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Son funciones inversas.
Y

y=x–1 X y=x+1

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1. La masade madera de un bosque aumenta en un 40% cada 100 años. Si tomamos como unidad de masa vegetal (biomasa) la que había en el año 1800, que consideramos instante inicial, y como unidad de tiempo 100 años, la función M = 1,4t nos da la cantidad de masa vegetal, M, en un instante cualquiera, t expresado en siglos a partir de 1800 (razona por qué). a) Averigua cuándo habrá una masa de madera triple...