Variados

Deniciones previas
Norma de un vector x = (x1 , x2 ) ∈ R2
||x|| =

x2 + x2
1
2

Propiedades
i.- ||x|| 0
ii.- ||x|| = 0 ⇔ x = 0
iii.- ||λx|| = |λ| ||x|| con) λ ∈ R
iv.- ||x + y || ||x|| + ||y || (desigualdad triangular)
Distancia entre dos vectores x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2
d(x, y ) = ||x − y || =

(x1 − y1 )2 + (x2 − y2 )2

Propiedades
i.- d(x, y ) 0
ii.- d(x, y ) =0 ⇔ x = y
iii.- d(x, y ) = d(y, x)
iv.- d(x, z ) d(x, y ) + d(y, z )
Dado un punto a ∈ R2 y un número δ > 0 se llama bola abierta con centro a y radio δ al conjunto
B (a, δ ) = {x ∈ R2 : d(a, x) < δ }.

Dado un punto a ∈ R2 y un número δ > 0 se llama bola abierta reducida con centro a y radio δ al
conjunto B ∗ (a, δ ) = {x ∈ R2 : 0 < d(a, x) < δ } = B (a, δ ) − {a}.
Dado un conjunto C ⊆R2 , se dice que un punto a ∈ R2 es un punto de acumulación de C si toda
bola abierta reducida con centro a contiene algún punto de C.
Un conjunto C ⊆ R2 es cerrado si contiene todos sus puntos de acumulación.
Un conjunto C ⊆ R2 está acotado si existe K > 0 tal que ||x|| < K ∀ x ∈ C.

Denición

Sea f : C → R una función real denida en un conjunto C ⊆ R2 y sea a ∈ R2 un punto de acumulaciónde C . Se dice que L ∈ R es el límite de f en el punto a, y lo denotaremos l´ f (x) = L, si
ım
x→ a

∀ > 0, ∃δ > 0 tal que [x ∈ C − {a}, ||x − a|| < δ ] ⇒ |f (x) − L| <

es decir, si

∀ > 0, ∃δ > 0 tal que x ∈ B ∗ (a, δ ) ∩ C ⇒ f (x) ∈ (L − , L + )

Proposición [Criterio de Cauchy]

Sea f : C → R una función real denida en un conjunto C ⊆ R2 y sea a ∈ R2 un punto de acumulación
deC . Entonces l´ f (x) = L ∈ R si y sólo si ∀ > 0, ∃δ > 0 tal que
ım
x→ a

[x, x ∈ C − {a}, ||x − a|| < δ, ||x − a|| < δ ] ⇒ |f (x) − f (x )| <

Denición

Sea f : C → R una función real denida en un conjunto C ⊆ R2 .
Límite más innito

Si a ∈ R2 es un punto de acumulación de C, se dice que f tiene límite más innito en a, l´ f (x) =
ım
x→ a
+∞, si
∀ K > 0, ∃δ > 0 tal que [x ∈ C −{a}, ||x − a|| < δ ] ⇒ f (x) > K

Límite menos innito

Si a ∈ R2 es un punto de acumulación de C, se dice que f tiene límite menos innito en a,
l´ f (x) = −∞, si
ım

x→ a

∀ K > 0, ∃δ > 0 tal que [x ∈ C − {a}, ||x − a|| < δ ] ⇒ f (x) < −K

Límite en el innito

Si C no está acotado, se dice que f tiene límite L ∈ R en el innito, l´ f (x) = L, si
ım
x→∞

∀ > 0, ∃H > 0 tal que[x ∈ C, ||x|| > H ] ⇒ |f (x) − L| <

Proposición

Sea f : C → R una función real denida en un conjunto C ⊆ R2 y sea a ∈ R2 un punto de acumulación
de C . Entonces:
El límite de f en a, si existe, es único.
Si f tiene límite nito en a, entonces está acotada en alguna bola abierta reducida con centro a.
l´ f (x) = L si y sólo si l´ (f (x) − L) = 0
ım
ım

x→ a

x→ a

Si g : C → R esuna función real que está acotada en alguna bola abierta reducida con centro a y
l´ f (x) = 0, entonces l´ (f · g )(x) = 0
ım
ım

x→ a

x→a

Denición

Sea f : C → R una función real denida en un conjunto C ⊆ R2 y sea a ∈ R2 un punto de acumulación
de C . Se dice que f es un innitésimo en a si l´ f (x) = 0.
ım
x→ a

Denición

Sea f : C → R una función real denida en unconjunto C ⊆ R2 y sea a ∈ R2 un punto de acumulación
de C .
Sea D una recta (o una curva) que pasa por a de forma que a es un punto de acumulación de C ∩ D.
Se llama límite direccional de f en a según la recta (o la curva) D al límite, si existe, de la función
f |R : C ∩ R
x

→
R
→ f (x)

Proposición

Si f : C → R tiene límite L en a ∈ R2 , punto de acumulación de C , entonces f tienelímite L a lo largo
de cualquier recta o curva D que pase por a (supuesto que a es punto de acumulación de C ∩ D).
Por lo tanto,
i. Si f tiene en a dos límites direccionales distintos, entonces no existe el límite de f en a.
ii. Si no existe el límite direccional de f en a a lo largo de una recta (o según una curva), entonces no
existe el límite de f en a.

Proposición

Sean f, g : C → R...