varios


2.6. PROCESOS DE MARKOV. IW


2.6.4. Cadena de Markov para Sistemas en estado estable
is onveniente s er ómo se omport el sistem D después de ierto tiempoF r el
so dis retoD se utiliz el ve tor (l de pro ilid des

p(m) = |p (m), p (m), p (m), ... @PFPHA
1 2 3

he est m ner se tienequeX

m p(m + n) = p(n) [P] @PFPIA

il u l de(ne un rel ión de re urren i D l u l permite ono er l evolu ión del ve tor
de pro ilid d de est do en el inst nte mD ono iendo el ve tor de pro ilid d ini i lD
h iendo n = 0 de l siguiente form X

m m 2 p = p(0) [P ] = · · · = p(m - 2) [P] = p(m - 1) [P]@PFPPA

e medid que ument el número de inst ntes m D l s m tri es onvergerán un v lor
est le @ ro lem PFIAD independiente del ve tor de pro ilid d ini i lF or lo t ntoD u ndo
el sistem lleg un est do est le jD l pro ilid d en est do est le lleg serX

m p = l´im [P ] @PFPQA
j ij
m 8
vuego el ve tor de proilid des en est do est le está d do porX

p = |p , p , p , ... @PFPRA
1 2 3
s ndo PFPPX
p(m) - p(m - 1) = p(m - 1) {[P] - [I]} @PFPSA
gon m 8 D m - 1 ˜ m D p(m) p D on lo que l e u ión PFPS qued X

p = p [P ] @PFPTA

xótese que se de e umplir l ondi ión de pro ilid dX

p = 1@PFPUA
j
j
y sí determin r el ve tor de pro ilid des de est doD en est do est leF

Ejemplo 2.6 Determinar las probabilidades de estado, en estado estable, de un sistema
Markoviano descrito por su matriz de transición de estados:

0,25 0,25 0,5 0
0 0,25 0,5 0,250,25 0,25 0,25 0,25
0,25 0,25 0 0,5


PH CAPÍTULO 2. DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE SISTEMAS M/M


Nótese que la ecuación 2.27 reemplaza una componente del sistema descrito por la ecuación
2.26. Luego, reemplazando la componente p , el sistema que dene las probabilidades en
4
estado estacionario son:
p = 0,25p +0,25p +0,25p
1 1 34
p = 0,25p +0,25p +0,25p 0,25p
2 1 2 3 4
p = 0,5p +0,5p +0,25p
3 1 2 3
1 = p +p +p +p
1 2 3 4
Resolviendo el sistema: p = 0,1875 . p = 0,25 , p = 0,2917 , p = 0,271 .
1 2 3 4

Ejemplo 2.7 Se considera una señal con amplitudentre -2A y 2A , el cual solo puede tomar
valores múltiplos de A. En cualquier instante n, la señal puede, ya sea quedarse en el mismo
valor, aumentar A o disminuir A . Al asumir que los cambios tienen igual probabilidad,
determine:

La cadena de Markov que describe el proceso.

La matriz de transición de estados.

La probabilidad de que en el segundo instante, la señal pase elestado -A al estado A .

La probabilidad de estado de la señal en estado estable.











pigur PFPX eñ l de p sos dis retos











pigur PFQX g den de w rkov p r el ejemplo


2.6. PROCESOS DE MARKOV. PI


El diagrama de trancisión de estados que se ilustra en la gura 2.3, determinael proceso de
Markov donde:
i = -2A, 2A 1
P = 2
ij 1 otro caso
3
Luego, la matriz de transición de estados es igual a:

1/2 1/2 0 0 0
1/3 1/3 1/3 0 0

[P ] = 0 1/3 1/3 1/3 0

0 0 1/3 1/3 1/3
0 0 0 1/2 1/2
Para...