Vectores Espacio

VECTORES EN EL
ESPACIO
Algebra lineal

Algebra lineal

Vectores en el
espacio
Eje Z

O

Eje Y
Eje X
Sistema de coordenadas de la mano
derecha

Algebra lineal

Vectores en el
espacio

Dado un vector u se le asocia el punto P(a,b,c)
así:

Eje Z

c
u

a
Eje X

b
Eje Y

u=(a,b,c) son las
coordenadas del punto P y

Algebra lineal

Vectores en el
espacio

Dado (a,b,c)3 se le asocia el vector uasí:

Eje Z

u=(a,b,c
)

c
u

a
Eje X

b
Eje Y

Algebra lineal

Vectores en el
espacio
Punto P
en el espacio

Vector u=OP

desde el origen hasta

(a,b,c)3
Esta correspondencia se
llama: Sistema de coordenadas

Algebra lineal

Vectores en el
espacio

Plano XY={(x,y,z) 3/
z=0}

Eje Z

O

Eje X

Eje Y

Algebra lineal

Vectores en el
espacio
Eje Z

Plano XZ=

{(x,y,z) 3/ y=0}

O

Eje X

Eje YAlgebra lineal

Vectores en el
espacio
Plano YZ={(x,y,z) 3/
x=0}

Eje Z

O

Eje X

Eje Y

Algebra lineal

Vectores en el
espacio
Sean u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3)
vectores en el espacio y  un
número real. Se define el vector:
suma u+v como
u+v= (u1+ v1, u2+ v2,
u3+v3)
producto por un escalar  u
como

Algebra lineal

Vectores en el
espacio

La magnitud o norma de un
vector
u=(u1,u2,u3)
essu
longitud, es decir, de acuerdo
al teorema de Pitágoras.

u 

2
u1

2
 u2

2
 u3

Un vector de norma 1 se llama
vector unitario

Algebra lineal

Vectores en el
espacio
Ejemplo
Nº1
a) Encuentre el vector de
norma 4 en la dirección del
vector (2,-2,-1)
b)
Encuentre
el
vector
unitario que forma un ángulo
de /4 con el eje X

Algebra lineal

Vectores en el
espacio
a)

Solución
Nº1

u  4  4  13
por lo
tanto
4
4
u
(2,-2,-1) es el vector
u
3
buscado

Algebra lineal

Vectores en el
espacio
b) Hay infinitos vectores de norma 1,
que forman un ángulo de /4 con el eje
X.
Eje Z

Eje X

Eje Y

Algebra lineal

Vectores en el
espacio
Por lo tanto en  3 se define
una dirección como un vector
unitario.
u=(a,b,c)
Eje Z
u
unitario
a= cos 

b= cos 


c= cos 
Eje Y
Eje Xcos2+cos2+cos2 =1

, ,  son los ángulos directores

Algebra lineal

Vectores en el
espacio
Producto escalar
Se define el producto interior o
producto escalar de dos vectores
u=(u1,u2,u3) y v=(v1,v2,v3) como:
u.v=u1v1+u2v2+u3v3



Se define el ángulo
entre dos vectores u y
v como el ángulo no
negativo mas pequeño
 entre u y v.

Algebra lineal

Vectores en el
espacio

Producto escalar
Eje Z

 /2
Eje Y

Dosvectores
son paralelos si
el ángulo entre
ellos es 0 o .

Eje X

Dos vectores son ortogonales
si forman un ángulo de /2

Algebra lineal

Vectores en el
espacio
Teorema:
u y v vectores no nulos y  el
ángulo entre ellos, entonces
u.v  u v cos 
Sean

Interpretación
geométrica:

u


u.v
ucos
Proyvu= 2
v

v

v

Algebra lineal

Vectores en el
espacio
Teorema:
Sea v un vector no nulo,entonces para
cualquier vector u se tiene que
u.v
v es un vector ortogonal a v
w= u  v
2
v
u

w=u-proyvu


Proyvu

v

Algebra lineal

Vectores en el
espacio

Prueba del Teorema:


u
.
v


w.v=  u 
v .v u.v 
2 

v




u
.
v

 2
u
.
v

v 0
w.v=


2
v


Por lo tanto wv



u
.
v


v.v


2
v



Algebra lineal

Vectores en el
espacio
Ejercicio
Nº2

a) Calcule laproyección de u=(2,3,1) sobre v=(2,-1,3).
b) Sean u=(1,0,0), v=(0,1,1) y
w=(3,0,0). Encuentre el ángulo
entre u y v, u y w, v y w.
c) Encuentre todos los vectores
ortogonales a (1,-1,2) y (0,1,-2)

Algebra lineal

Vectores en el
espacio
Producto
vectorial
El producto
vectorial o producto cruz fue
definido por Hamilton (1848) y solo está
definido para  3.
Es un producto de vectores en  3 cuyoresultado es un vector perpendicular a
ambos factores, de manera que se
mantenga el sistema derecho
Primero se define en los vectores
canónicos i=(1,0,0), j=(0,1,0), k=(0,0,1)

Algebra lineal

Vectores en el
espacio
Producto
vectorial
ixi=0

jxj=0

ixj=k
ixk=-j

jxi=-k
jxk=i

kxk=0
kxi=j
kxj=-i

(bz-cy)i- (az-cx)j +(ay-bx)k

u=
ai+bj+ck
v=
xi+yj+zk

uxv

Algebra lineal

Vectores en el
espacio...