Vectores R2 Y R3

Matemática II

Vectores en R2 y R3

Vectores en R 2 y R 3

Magnitudes escalares y vectoriales Hay magnitudes que quedan determinadas dando un solo número real. Por ejemplo: la longitud de una regla, la masa de un cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos. Tales magnitudes se llaman escalares, y pueden ser representadas sobre la recta real mediante un número que indica su medida.Otros ejemplos de escalares son: la densidad, el volumen, el trabajo, la potencia. Para otras magnitudes, en cambio, no es suficiente dar un número para determinarlas. Para la velocidad en un punto, por ejemplo, no basta conocer su intensidad, sino que hace falta conocer además la dirección y el sentido con que el punto se mueve. La dirección viene dada por una recta, de manera que todas las rectasparalelas representan la misma dirección. Otras rectas no paralelas tienen direcciones diferentes. Cada dirección tiene dos sentidos, determinados por las dos orientaciones posibles sobre la recta. Lo mismo que con la velocidad ocurre con la fuerza, con el campo eléctrico, etc. Son magnitudes en las que su efecto depende no sólo de la intensidad sino también de la dirección y sentido en que actúan.Estas magnitudes en las que hay que distinguir su intensidad (que es una magnitud escalar), su dirección y su sentido, se llaman magnitudes vectoriales. Otros ejemplos son: la aceleración, la cantidad de movimiento, el campo magnético, el flujo de calor o de materia, etc. Las magnitudes vectoriales ya no se pueden representar, como los escalares, por puntos sobre una recta. Hay que tomarsegmentos de una dada longitud (indicadora de su intensidad) a partir de un punto fijo, los cuales tengan la dirección y sentido correspondientes. Vectores. Un segmento de recta queda determinado por sus dos puntos extremos. Cuando esos puntos están dados en un cierto orden, se dice que el segmento está orientado. Se llama vector a todo segmento orientado. El primer punto es el origen y el segundo, elextremo del vector. La recta que contiene al vector determina su dirección; la orientación sobre la recta, definida desde el origen hasta el extremo, determina su sentido. Todos los vectores situados sobre una misma recta o sobre rectas paralelas tienen la misma dirección. Sobre cada recta hay dos sentidos opuestos. Se llama módulo de un vector a la longitud del segmento que lo representa, que esproporcional a la intensidad de la magnitud representada. El módulo es una cantidad escalar siempre positiva. Si A es el vector que tiene origen en O y extremo en P, su módulo representa la distancia entre los puntos O y P y se expresa de cualquiera de las tres siguientes maneras:
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Vectores en R2 y R3

mod A = A =

OP

Cuando el módulo de un vector es nulo, el segmento se reduce a un punto y no puede hablarse de vector pues carece de dirección y sentido. Sin embargo, se conviene en definir el vector nulo como aquél de módulo cero. → ! Para indicar un vector se usa con frecuencia una flecha encima: A o bien OP . Dos vectores se dicen iguales cuandotienen el mismo módulo, la misma dirección y el mismo sentido. Los vectores A y B de la figura, ubicados sobre rectas paralelas, son iguales, A=B. Con este criterio de igualdad, todos los vectores pueden ser trasladados a un mismo origen. Dos vectores se dicen opuestos cuando tienen el mismo módulo, la misma dirección y sentidos opuestos. Los vectores A y C son opuestos y se indican A=-C.

AB

C

Componentes de un vector Supongamos que los puntos P ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) en R2 representan el origen y el extremo 1 de un vector A= P P2 . Se llaman componentes de A a las proyecciones de A sobre los ejes: 1 a x = x2 − x1 y P2 y2 ay y1 A P1 ax x1 x2 x En general, un vector A en R2 se indicará por medio de sus dos componentes en la forma A(a x , a y ) . De la figura resulta...