Vectores En R3

Vectores en [pic]

Como ya se había definido en [pic], un vector es la representación de todos los segmentos dirigidos de recta equivalentes.

Para cualquier vector [pic]en[pic] tendremos ahora una tercia ordenada de números reales:
[pic]

Una representación de [pic]es como un vector de posición, que es el segmento dirigido de recta [pic] del origen al punto [pic]. ( ver Figura 1).

Otrarepresentación de [pic]es como un vector localizado, que es el segmento dirigido de recta [pic] del punto [pic] al punto[pic] ( ver Figura 2a y 2b).

Por lo tanto el vector [pic] está dado por:

[pic]

La magnitud, longitud o norma del vector [pic] denotada por [pic] se puede obtener con la expresión:

[pic]

Suma de vectores:
Si [pic] y [pic], entonces el vector [pic] está definidopor:
[pic]
La suma de vectores está ilustrada gráficamente en la figura 4, donde se puede apreciar la regla del triángulo ya vista en el caso bidimensional.

Multiplicación por un escalar.

Dado el vector [pic] y el escalar [pic] entonces el vector [pic] está definido por:

[pic]

El vector [pic] se dice que es un múltiplo escalar de [pic]. En la figura 4 se pueden apreciar algunosmúltiplos escalares de [pic].

Condición de paralelismo.
Dos vectores diferentes de cero [pic] son paralelos si y solo son múltiplos escalares, eso es que existe un escalar [pic] tal que [pic]

Propiedades de la suma y multiplicación por un escalar.
Si [pic] y k y m son escalares, entonces:

|[pic] |[pic] |
|[pic]|[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |

Vectorunitario.
Un vector unitario [pic]es aquel cuya longitud es igual a 1([pic]). Para obtener un vector unitario en la dirección vector [pic] solo es necesario multiplicar a dicho vector por el escalar [pic]
Así entonces: [pic]
Por sus componentes;
[pic]

Existen tres vectores unitarios especiales en el espacio y son los vectores en la dirección positiva de los ejes x, yy z;(figura 5)

[pic]

Y cualquier vector puede expresarse como una combinación lineal de dichos vectores:

Si [pic], entonces por las propiedades de la suma y la multiplicación por un escalar tendremos:

[pic]
[pic]
[pic]
La representación geométrica se puede ver en la figura 6.

Producto punto o producto escalar.
De la misma forma en que se definió para dos dimensiones el productoescalar para el caso tridimensional tendremos:

Si [pic] y [pic], entonces el producto punto, denotado por [pic]es el escalar dado por:
[pic]

Propiedades del producto escalar:
|[pic] |[pic] |
|[pic] |[pic] |
|[pic]| |

Angulo entre vectores.
Si [pic] es el ángulo entre los vectores [pic] diferentes de cero, entonces( figura 7):
[pic]

Condición de perpendicularidad.
Si dos vectores [pic]son perpendiculares si el ángulo entre ellos es igual a [pic] (90°) sustituyendo en la expresión anterior se tiene [pic] y despejandoobtenemos [pic]que es la condición para que dos vectores sean perpendiculares u ortogonales.

Concluyendo: [pic] son ortogonales si y solo si [pic]

Angulos y cosenos directores.
La dirección de un vector tridimensional está dada por los ángulos [pic] que forma el vector con la parte positiva de los ejes x, y y z respectivamente. Dichos ángulos son llamados ángulos directores. (Figuras 8a y 8b)...