VECTORES Y MATRICES MATES EMPRESARIALES

Tema 5: Diagonalización de matrices
La intención en este tema es, dada una matriz cuadrada, ver si existe otra matriz semejante a
ella que sea diagonal. Recordemos (ver Tema 1: Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones
lineales, Ejercicio 20) que dos matrices cuadradas de orden n, A y D, se dice que son semejantes
cuando existe otra matriz cuadrada de orden n, P , invertible, tal queA = P DP −1 .
El problema puede enfocarse desde el punto de vista de endomorfismos: dado un endomorfismo f de
Rn se trata de ver si existe una base del espacio respecto de la cual la matriz asociada sea diagonal.
Realmente ambos problemas son equivalentes, pues en primer lugar dado
f : Rn → Rn
podemos tomar
A = MB (f )
la matriz asociada a cierta base B, y dada A podemos tomar f de modo que A= MB (f ) (ver Tema
4: Aplicaciones lineales, Propiedades de las aplicaciones lineales, 1o propiedad). Entonces, puede
comprobarse que una matriz es semejante a A si y sólo si va asociada a f respecto de alguna base
de Rn .

1

Valores propios y vectores propios

Sea A una matriz cuadrada de orden n, λ un escalar del cuerpo y v un vector-columna no nulo
del espacio vectorial Rn . Si secumple que Av = λv entonces se dirá que λ es un valor propio (o
autovalor) de A y que v es un vector propio (o autovector) de A. Es más se dirá que λ es un valor
propio de A asociado al vector propio v, y que v es un vector propio de A asociado al valor propio λ.
Sea f : V → V un endomorfismo de un espacio vectorial V , λ un escalar del cuerpo y v un vector
no nulo del espacio vectorial. Si secumple que f (v) = λv entonces se dirá que λ es un valor propio
(o autovalor) de f y que v es un vector propio (o autovector) de f . Es más se dirá que λ es un
valor propio de f asociado al vector propio v, y que v es un vector propio de f asociado al valor
propio λ.
En las siguientes propiedades estaremos refiriéndonos a valores o vectores propios indistintamente
para matrices o endomorfismos.Observación 1.1
1. Observemos que mientras un vector propio debe ser no nulo (el vector 0 no
se considera vector propio) un valor propio sí puede ser nulo (el escalar 0 sí puede ser valor
propio).
2. Todo vector propio va asociado a un único valor propio (se dirá que es el valor propio asociado
a ese vector propio).
1

3. Todo múltiplo no nulo de un vector propio es también un vectorpropio y además va asociado al
mismo valor propio. En general se cumple que toda CL no nula de vectores propios asociados
al mismo valor propio resulta también un vector propio con el mismo valor propio asociado.
à !
1
Ejemplo 1.2
1. Comprobar que v =
es un vector propio de la matriz
1
A=

Ã

2
3
6 −1

!

y determinar cuál es su valor propio asociado.
Como
Av =

Ã

5
5

!=5

Ã

1
1

!

se tiene que v es un vector propio de A asociado al valor propio 5.
2. Sea f el endomorfismo de R3 cuya expresión analítica es
f (x, y, z) = (x + 2y − z, 3y, 4x − y − 4z).
Comprobar que (1, 0, 1) es un vector propio del endomorfismo y hallar el valor propio correspondiente.
Como
f (1, 0, 1) = (0, 0, 0) = 0(1, 0, 1),
se tiene que el vector (1, 0, 1) es un vectorpropio de f asociado al valor propio 0.
Observación 1.3 Sea f un endomorfismo de Rn y A la matriz asociada a f respecto de la
base canónica C de Rn . Entonces los valores propios (y los vectores propios) de f y de A son los
mismos. Esto se debe a que para todo vector-columna v ∈ Rn se cumple que f (v) = Av.
Si tenemos una matriz A de orden n × n recordemos que se llamaba núcleo de A al siguienteconjunto de vectores
ker A = {v ∈ Rn : Av = 0}.
Éste es el conjunto de soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es precisamente A (de este modo este sistema tiene n ecuaciones y n incógnitas). Así vemos
que ker A es un subespacio de Rn cuyas ecuaciones implícitas tienen por matriz de coeficientes A.
Además, por el teorema de Rouché-Fröbenius se tiene...