Vectores

C´lculo Vectorial
a
1.

Vector de Posici´n
o

− Dado un sistema de coordenadas OXY Z , entendemos por vector de posici´n de un
o
punto P del espacio en dicho sistema de coordenadas, unvector que sirve para definir
la posici´n de dicho punto, cuyo origen coincide con el origen O de coordenadas y cuyo
o
extremo es el punto P . Lo designamos por r:
r ≡ OP

(1)

Figura 1:
− Lascomponentes cartesianas del vector de posici´n r se designan por (x, y, z ) y reciben el
o
nombre de coordenadas cartesianas del punto P en el sistema de coordenadas OXY Z :
r ≡ (x, y, z ) = x i + y j+ z k

2.

(2)

Campos escalares y campos vectoriales

− Dado un sistema de coordenadas OXY Z , decimos que tenemos un campo escalar (o
funci´n escalar) V (x, y, z ), si a cada punto delespacio (x, y, z ) le podemos asignar un
o
escalar (n´ mero) V :
u
(x, y, z ) → V = V (x, y, z )
(3)
− De forma similar, decimos que tenemos un campo vectorial (o funci´n vectorial)
o
A(x, y, z ),si a cada punto del espacio le podemos asignar un vector A:
(x, y, z ) → A = A(x, y, z )
1

(4)

3.

Derivada parcial

− Dada una funci´n escalar V (x, y, z ), definimos la derivada parcialde V respecto de
o
∂V , como la derivada de V respecto a x, suponiendo las variables y , z
la variable x, ∂x
constantes.
De forma similar, se define la derivada parcial de V respecto a lavariable y , ∂V , como
∂y
la derivada de V respecto a y , suponiendo las variables x, z constantes, y la derivada
parcial respecto a la variable z , ∂V , como la derivada de V respecto a z , suponiendolas
∂z
variables x, y constantes.
Ejemplo: sea V = 2xy 2 z + x seny . Entonces:
∂V
∂x
∂V
∂y

= 4xyz + x cosy

∂V
∂z

4.

= 2y 2 z + seny

= 2xy 2

Vector diferencial de r

− Sea unsistema de coordenadas OXY Z y un punto de vector de posici´n r. Entendemos
o
por vector diferencial de r en ese punto (dr), un vector de m´dulo infinitesimal (muy
o
peque˜ o) que permite pasar...