vectoriales

Espacios vectoriales. Propiedades.
Antes de ver la definición, estudiemos unos ejemplos de espacios vectoriales para ver las propiedades comunes.
R2=RxR={(x,y)/x,y∈R}≡ conjunto de todos los pares de números reales
Dos pares son iguales si lo son sus componentes, es decir: (x,y)=(x',y')⇔x=x' e y=y'
En R2 se definen las siguientes operaciones:
Operación interna: suma: (x,y)+(x',y')=(x+x',y+y')Operación externa: Producto por números reales: k(x,y)=(kx,ky)
Estas operaciones cumplen las siguientes propiedades:
r
r
r
Sean u =(x,y), v =(x',y') y w =(x'',y'')
r r
r r
r r
1: Asociativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w ) : [(x,y)+(x',y')]+(x'',y'')=(x,y)+[(x',y')+(x'',y'')]
r r r r
2: Conmutativa: u + v = v + u : (x,y)+(x',y')=(x',y')+(x,y)
r r r
3: Elemento neutro: 0=(0;0)
ya queu + 0 = u : (x,y)+(0,0)=(x,y)
r
r
r
r
r
4: Elemento opuesto: el opuesto de u =(x,y) es - u =(-x,-y) ya que u + ( −u ) = 0 , es decir: (x,y)+(0,0)=(x,y)
r r
r
r
5: k [u + v ] = ku + kv : k[(x,y)+(x',y')]=k(x,y)+k(x',y')
r
r
r
6: ( k + h )u = ku + hu : (k+h)(x,y)=k(x,y)+h(x,y)
r
r
7: k [hu ] = ( kh )u : k[h(x,y)]=(kh)(x,y)
r r
8: 1 ⋅ u = u : 1(x,y)=(x,y)R3=RxRxR={(x,y,z)/x,y,z∈R}≡ conjunto de todas las ternas de números reales
con la operación interna, suma:(x,y,z)+(x',y',z')=(x+x',y+y',z+z') y la operación externa, producto por nºreales:
k(x,y,z)=(kx,ky,kz) también se cumplen las 8 propiedades anteriores.
En general Rn=RxRx...n veces...xR={ (x1,x2,...,xn)/xi∈R,∀i=1,...,n} con las operaciones:
suma: (x1,x2,...,xn)+(x'1,x'2,...,x'n)=(x1+x'1,x2+x'2,...,xn+x'n)
productopor números reales:k(x1,x2,...,xn)=(kx1,kx2,...,kxn)
también se cumplen las 8 propiedades anteriores.
Pasemos a definir un espacio vectorial de forma general.
Definición
r r r
u
Sea V = { ,v ,w ,.....} un conjunto no vacío de elementos, a los que les llamaremos vectores.
En este conjunto definimos las siguientes operaciones:
r r
Suma: u + v ∈V (es una operación interna)
r
Producto pornúmeros reales: ku ∈V (es una operación externa)
El conjunto V con las operaciones "+" y "⋅R" es un espacio vectorial si se cumplen las ocho propiedades
siguientes:
r r
r r
r r
1: Asociativa: ( u + v ) + w = u + ( v + w )
r r r r
2: Conmutativa: u + v = v + u
r
r
3: Elemento neutro: Existe un elemento al que nombraremos 0 , tal que para cualquier otro elemento u , se
r r
r
cumple u + 0= u
r
r
r
r
r
r
4: Elemento opuesto: para todo u , existe otro elemento - u (opuesto de u ) tal que u +(- u )= 0
r r
r
r
5: k [u + v ] = ku + kv
r
r
r
6: ( k + h )u = ku + hu
r
r
7: k [hu ] = ( kh )u
r r
8: 1 ⋅ u = u
El espacio vectorial V definido así, lo designaremos por (V,+,⋅R) o V(R) o símplemente V.
Los elementos de V se llaman vectores y los elementos de R escalares.1

Ejemplos de espacios vectoriales
- El conjunto de vectores libres del plano V2, con las operaciones de suma de vectores y producto por un número
real usuales.
- El conjunto de los polinomios con coeficientes reales, de grado menor o igual que n, con las operaciones usuales
de suma de polinomios y producto de un polinomio por un número real.
- El conjunto de las sucesiones de númerosreales con las operaciones usuales de suma de sucesiones y
producto de una sucesión por un número real.
- El conjunto de las funciones reales continuas definidas en un intervalo, con las operaciones de suma de
funciones y producto de una función por un número real.
- El conjunto de los números complejos con las operaciones usuales de suma de complejos y producto de un
complejo por un númeroreal.
Otras propiedades
Propiedades de los ceros:
r r
1: 0 ⋅ 0 = 0
r r
2: k ⋅ 0 = 0
r r
r r
3: k ⋅ u = 0 ⇔ k = 0 ó u = 0

Propiedades de los signos:
r
r
r r
4: u − ( +v ) = u − v
r
r
r r
5: u − ( −v ) = u + v
r
r
6: k ( −u ) = −ku
r
r
7: − k ( u ) = −ku
r
r
8: − k ( −u ) = ku

Propiedades simplificativas:
r r r r
r r
9: u + v = u + w ⇒ v = w
r
r
r r
10: ku...