VillalobosGammayBeta Completo 1
Páginas: 6 (1336 palabras)
Publicado: 30 de septiembre de 2015
FUNCIONES
GAMMA Y BETA
1. LA FUNCIÓN GAMMA. PROPIEDADES
ELEMENTALES.
La función Gamma fue definida por Euler mediante
r(x) = fooo e-ttX-1dt
,
x
»O
(1)
donde la condición x>O es exigida para la convergencia de la integral.
En vez de una rigurosa demostración de la convergencia, se justificará
ésta mediante el siguiente razonamiento:
Se tiene que e-ttx-1 ~ O cuando x ~ 00, de manera queno se esperan
inconvenientes en el límite superior de la integral. Cerca del límite inferior
t=O, el integrando se aproxima a tx-1 ya que e-t ~ 1. De esta manera
y para que el primer término de la derecha permanezca finito, se debe tener
x>O.
De la definición (1) es fácil ver que
y
r(1/2) =
fooo e-tr1/2dt
= 2 foDO
e-u2 du
= 2 (~)
=~
1
(Resultado conocido)
Una relación básica de lafunción Gamma es
I'(c
+ 1) = xr(x)
la cual se deduce a partir de (1) e integrando por part.es, como sigue:
1
(2)
r(x
+ 1)
1
00
-
e-ttX-1dt
[-~:
+x
1
00
e-ttX-1dt
O
=
xr(x)
La fórmula (2) juega un papel importante en el cálculo de valores de la
función Gamma.
Si se toma x=n (n entero positivo) y se usa (2) repetidamente, se tiene
que
r(n
+ 1)
nr(n)
n(n - l)r(n- 1)
n(n - l)(n - 2)r(n- 2)
-
n(n - l)(n - 2) ... ·1 . r(l)
esto es
r(n
+ 1) = nI
(3)
Esta última expresión puede usarse para definir 01, si se aplica para n=O,
obteniéndose
01 = I'(l ) = 1
Análogamente,
para n entero positivo, se observa que
t
2
r(71,+ 1/2)
-
(71,- 1/2)r(71,- 1/2)
(71,- 1/2)(71, - 3/2)r((71, - 3/2)
-
(71,- 1/2)(71, - 3/2)(71, - 5/2)
·1/2· r(I/2)
1) (271, ; 3) (271, ; 5)
(271, ;~J1f
de donde
r(71,+ 1/2) =
1 . 3 . 5 .... (271, - 1)
2n
J1f
(4)
La función Gamma satisface
r(x)r(1 - x) =
'Tr
,O
se71,'TrX
(5)
En efecto:
Usando (1) se tiene que
r(x)r(1 - x)
-
fooo e-ttX-ldt·
fooo e-s s-xds
fooo fooo e-(t+s)tx-l s-Xdtds
Haciendo
u=t+s
, v=-
uv
t---1+v'
t
s
se tiene que el Jacobiano de la transformación
8(t,s)
8(u,v)
_ I
¡!¡! I
=
8~ 8~
U
(1 +V)2
3
I
u
s=-1+v
viene dado por
l~v (l';v)2
l¡v - (l';v)2
I
l
Luego,
r(x)r(l - x)
1
(resultado conocido)
senst x
Haciendo pi = w, es fácil ver que
z>O
p>O
,
(6)
2 FUNCION BETA.
Se define la función Beta por
x>O
y>O
(7)
Haciendo el cambio t = sen2() en (7), se tiene que
B(x, y)
¡-rr/2
=
Jo
2x-2
sen
()
2y-2
cos
()
·2sen()cos()d()
de donde
¡-rr/2
B(x, y) = 2 Jo
2x-lsen
()
2y-l
cos
()
d()
x>O
y>O
Si en (7) se hace u= l~t' se tiene que
B(x,y) = looo
u:l U:l
X-l
(
)
y al simplificar queda
4
(
)y-l
d
(u+u1)2
(8)
rOO
(u + l)x+y
B(x, y) = Jo
Tomando p=l+u
y al sustituir
ux-1
,
x>O
y>O
(9)
y z=x+s] en (6), queda
esta expresión en (9), se tiene que
B(x, y)
Si en la integral respecto a u se usa de nuevo (6), se tiene que
B(x, y)
de dondese obtiene la importante
B(
)
=
x,y
relación
x>O
y>O
f(x)f(y)
f(x+y)
(10)
De (10) resulta evidente que
B(y, x)
=
B(x, y)
3. FÓRMULA DE DUPLICACIÓN
DE LA FUNCIÓN GAMMA.
De acuerdo con (7) y (10)
r(x)f(y)
f(x+y)
= (I tX-I(l
Jo
Para x=y, queda
,
5
(11)
_ t)y-Idt
r(x)r(x)
r(2x)
Haciendo el cambio t=
I-/Ü en la integral,
2[ e -/u)
r(x)r(x)
r(2x)
_
0-1
se tiene que
e +/j0-1 (
-D
U-I/2du
_1_ (I CI/2(1 _ t)X-Idt
22x-1 Jo
1
22x-1B(1/2, x)
1 r(1/2)r(x)
22x-1 r(1/2 + x)
de donde resulta la llamada fórmula de duplicación
22x-Ir(x)r(x
+ 1/2) = J7[r(2x)
(12)
4. EXTENSIÓN DEL DOMINIO DE LA FUNCIÓN GAMMA.
En (1) se definió la función Gamma para valores positivos de la variable
x. Es posible extender el dominio de definición de r(x) para valores de x
negativas,usando para ello la fórmula (2) escrita en la forma
I'(e)
=
r(x
+ 1)
(13)
x
De acuerdo con (13), I'(O) = r~l) es infinito. Mediante aplicaciones repetidas de (13), es fácil ver que I'( -1), I'{ -2), I'[ -3), .... también son infinitos.
Para cualquier otro valor negativo de x, se puede calcular r(x) usando (13)
cuantas veces sea necesario, hasta que I'(z + 1) tenga argumento positivo.
De...
GAMMA Y BETA
1. LA FUNCIÓN GAMMA. PROPIEDADES
ELEMENTALES.
La función Gamma fue definida por Euler mediante
r(x) = fooo e-ttX-1dt
,
x
»O
(1)
donde la condición x>O es exigida para la convergencia de la integral.
En vez de una rigurosa demostración de la convergencia, se justificará
ésta mediante el siguiente razonamiento:
Se tiene que e-ttx-1 ~ O cuando x ~ 00, de manera queno se esperan
inconvenientes en el límite superior de la integral. Cerca del límite inferior
t=O, el integrando se aproxima a tx-1 ya que e-t ~ 1. De esta manera
y para que el primer término de la derecha permanezca finito, se debe tener
x>O.
De la definición (1) es fácil ver que
y
r(1/2) =
fooo e-tr1/2dt
= 2 foDO
e-u2 du
= 2 (~)
=~
1
(Resultado conocido)
Una relación básica de lafunción Gamma es
I'(c
+ 1) = xr(x)
la cual se deduce a partir de (1) e integrando por part.es, como sigue:
1
(2)
r(x
+ 1)
1
00
-
e-ttX-1dt
[-~:
+x
1
00
e-ttX-1dt
O
=
xr(x)
La fórmula (2) juega un papel importante en el cálculo de valores de la
función Gamma.
Si se toma x=n (n entero positivo) y se usa (2) repetidamente, se tiene
que
r(n
+ 1)
nr(n)
n(n - l)r(n- 1)
n(n - l)(n - 2)r(n- 2)
-
n(n - l)(n - 2) ... ·1 . r(l)
esto es
r(n
+ 1) = nI
(3)
Esta última expresión puede usarse para definir 01, si se aplica para n=O,
obteniéndose
01 = I'(l ) = 1
Análogamente,
para n entero positivo, se observa que
t
2
r(71,+ 1/2)
-
(71,- 1/2)r(71,- 1/2)
(71,- 1/2)(71, - 3/2)r((71, - 3/2)
-
(71,- 1/2)(71, - 3/2)(71, - 5/2)
·1/2· r(I/2)
1) (271, ; 3) (271, ; 5)
(271, ;~J1f
de donde
r(71,+ 1/2) =
1 . 3 . 5 .... (271, - 1)
2n
J1f
(4)
La función Gamma satisface
r(x)r(1 - x) =
'Tr
,O
se71,'TrX
(5)
En efecto:
Usando (1) se tiene que
r(x)r(1 - x)
-
fooo e-ttX-ldt·
fooo e-s s-xds
fooo fooo e-(t+s)tx-l s-Xdtds
Haciendo
u=t+s
, v=-
uv
t---1+v'
t
s
se tiene que el Jacobiano de la transformación
8(t,s)
8(u,v)
_ I
¡!¡! I
=
8~ 8~
U
(1 +V)2
3
I
u
s=-1+v
viene dado por
l~v (l';v)2
l¡v - (l';v)2
I
l
Luego,
r(x)r(l - x)
1
(resultado conocido)
senst x
Haciendo pi = w, es fácil ver que
z>O
p>O
,
(6)
2 FUNCION BETA.
Se define la función Beta por
x>O
y>O
(7)
Haciendo el cambio t = sen2() en (7), se tiene que
B(x, y)
¡-rr/2
=
Jo
2x-2
sen
()
2y-2
cos
()
·2sen()cos()d()
de donde
¡-rr/2
B(x, y) = 2 Jo
2x-lsen
()
2y-l
cos
()
d()
x>O
y>O
Si en (7) se hace u= l~t' se tiene que
B(x,y) = looo
u:l U:l
X-l
(
)
y al simplificar queda
4
(
)y-l
d
(u+u1)2
(8)
rOO
(u + l)x+y
B(x, y) = Jo
Tomando p=l+u
y al sustituir
ux-1
,
x>O
y>O
(9)
y z=x+s] en (6), queda
esta expresión en (9), se tiene que
B(x, y)
Si en la integral respecto a u se usa de nuevo (6), se tiene que
B(x, y)
de dondese obtiene la importante
B(
)
=
x,y
relación
x>O
y>O
f(x)f(y)
f(x+y)
(10)
De (10) resulta evidente que
B(y, x)
=
B(x, y)
3. FÓRMULA DE DUPLICACIÓN
DE LA FUNCIÓN GAMMA.
De acuerdo con (7) y (10)
r(x)f(y)
f(x+y)
= (I tX-I(l
Jo
Para x=y, queda
,
5
(11)
_ t)y-Idt
r(x)r(x)
r(2x)
Haciendo el cambio t=
I-/Ü en la integral,
2[ e -/u)
r(x)r(x)
r(2x)
_
0-1
se tiene que
e +/j0-1 (
-D
U-I/2du
_1_ (I CI/2(1 _ t)X-Idt
22x-1 Jo
1
22x-1B(1/2, x)
1 r(1/2)r(x)
22x-1 r(1/2 + x)
de donde resulta la llamada fórmula de duplicación
22x-Ir(x)r(x
+ 1/2) = J7[r(2x)
(12)
4. EXTENSIÓN DEL DOMINIO DE LA FUNCIÓN GAMMA.
En (1) se definió la función Gamma para valores positivos de la variable
x. Es posible extender el dominio de definición de r(x) para valores de x
negativas,usando para ello la fórmula (2) escrita en la forma
I'(e)
=
r(x
+ 1)
(13)
x
De acuerdo con (13), I'(O) = r~l) es infinito. Mediante aplicaciones repetidas de (13), es fácil ver que I'( -1), I'{ -2), I'[ -3), .... también son infinitos.
Para cualquier otro valor negativo de x, se puede calcular r(x) usando (13)
cuantas veces sea necesario, hasta que I'(z + 1) tenga argumento positivo.
De...
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