volumemes de resolucion

UNIVERSIDAD NACIONAL DEL
CENTRO DEL PERÚ
FACULTAD DE INGENIERÍA DE SISTEMAS

Ing. Hélar Véliz Fernández
2011

ANÁLISIS MATEMÁTICO II

Ing. Hélar Véliz Fernández

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VOLUMEN DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN
Un sólido de revolución está generado por la rotación de una REGIÓN
PLANA alrededor de una recta fija contenida en el plano. La recta fija se
llama EJE DE REVOLUCIÓN.
Para hallar elvolumen de un sólido de revolución existen tres métodos:
1. Método del disco circular o del anillo circular.
2. Método de la corteza cilíndrica.
3. Método: Teorema de Pappus para volúmenes.
Los dos primeros métodos se aplican cuando el eje de revolución es
paralelo a uno de los EJES COORDENADOS o coinciden con ellos.
El teorema de Pappus se aplica cuando el eje de revolución es una rectaoblicua.
Método del Disco y del Anillo Circular
Integral con respecto a “x”
1. La región R es:

R = { (x, y ) / 0 ≤ y ≤ f (x ), a ≤ x ≤ b }
y

↺

y = f(x)

a

dx

x

b

Gira alrededor del eje X, genera un sólido de revolución, cuyo volumen es:

V=π

∫

b

a

[ f (x ) ] 2 d x

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2. La región R es:

R = { (x,y ) / 0 ≤ g(x ) ≤ f (x ),
y = f(x)

a ≤ x ≤ b}
y

y = g(x)

↺

dx

a

x

b

Gira alrededor del eje X, genera un sólido de revolución, cuyo volumen es:

V=π

∫

b

{[ f (x) ] 2 − [ g(x) ] 2 }d x

a

3. CASO ESPECIAL

Sean f (x ) y g (x ) funciones continua en el intervalo [a , b ] que se
encuentran en el mismo lado de la recta L: y = c
Donde:
g(x ) − c ≤ f (x ) −c ∀ x ∈ [a, b] .

y = g(x )
 y = f (x ),
Si la región: 
x=b
x =a
Gira alrededor de la recta L: y = c genera un sólido S de
revolución cuyo volumen es:
y = f(x)

y = g(x)

L

y

dx

↻

y = c

x

a

V=π

b

∫

b

a

{[ f (x) − c ] 2 − [ g(x) − c ] 2 }d x

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Integral con respecto a “y”
1. La regiónR es:

R = { (x, y ) / 0 ≤ x ≤ f (y ),

c ≤ y ≤ d}

↺y

x = f(y)

d
dy

c
x

Gira alrededor del eje Y, genera un sólido de revolución cuyo volumen es:

V=π

∫

d

[ f (y ) ] 2 d y

c

2. Sea la región:

R = { (x, y ) / 0 ≤ g(y )

≤ f (y ),

c ≤ y ≤ d}

↺

y
x = g(y)

x = f(y)

d
dy

c

x

Gira alrededor del eje Y, genera un sólido de revolución Scuyo volumen
es:

V=π

∫

d

c

{ [f (y)] 2 − [g(y)] 2 }d y

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↺

3. CASO ESPECIAL:

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y

L

x = f(y)

x = g(y)

d
dy

c

x

y = k

x = g(y )
 x = f (y ),
Si la región: 
y=d
y =c
Gira alrededor de la recta L : x = k genera un sólido de revolución
cuyo volumen es:
V=π

∫

d

{ [f (y) − k] 2 −[g(y) − k] 2 }d y

c

Método de la Corteza Cilíndrica
Integral con respecto a “x”

1. La región R es:

R = { (x, y ) / 0 ≤ y ≤ f (x ),

Eje: Y ,

a ≤ x ≤ b}

a≥0
y

↺↺↺↺
y = f(x)

x
x

a

dx

b

Si S es el sólido de revolución que se genera al girar R alrededor del Eje Y
con a ≥ 0 , entonces el volumen, es:

A=2π

∫

b

a

x ⋅ f (x) ⋅ d x

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2. La región R es:

R = { (x, y ) / g(x ) ≤ f (x ),
a ≤ x ≤ b}
Eje: x = c ,
c≤a
L

↺

y

y = f(x)

x

y = g(x)

dx

x = c

x

a

b

Si S es el sólido de revolución que se genera al girar R alrededor de la
recta x = c , con c ≤ a , entonces el volumen S es:

V=2π

∫

b

(x − c )[f (x ) − g(x )] d x

a

4. Laregión R es:

R = { (x, y ) / g(x ) ≤ f (x ),

Eje: x = c ,

a ≤ x ≤ b}

b≤c

↺

y

y = f(x)

L

x

y = g(x)

dx

x = c

x

a

b

Si S es el sólido de revolución que se genera al girar R alrededor de la
recta x = c , con c ≥ b , entonces el volumen es:

V=2π

∫

b

a

(c − x )[f (x ) − g(x )] d x

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