vulcano

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Curso 2006-2007

Tema 4.
Resoluci´n de ecuaciones no lineales.
o

Asignatura:
M´todos Matem´ticos de la Ingenier´ Qu´
e
a
ıa
ımica
Profesores:
Emanuele Schiavi y Ana Isabel Mu˜ oz.
n
Apuntes elaborados por:
C. Conde (UPM), E. Schiavi (URJC) y A.I. Mu˜ oz
n
(URJC).

´
Indice

1

´
Indice

1.

Motivaci´n y generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .
o

3

2.

Conceptos previos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

3.

M´todos generales para la resoluci´n de una unica ecuaci´n no lineal
e
o
´
o

21

3.1.

El m´todo de bipartici´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
e
o

3.2.

El m´todo de aproximaciones sucesivas . . . . . . . . . . . . . 27
e
3.2.1.

3.3.

La t´cnica desobreiteraci´n . . . . . . . . . . . . . . 37
e
o

El m´todo de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
e
3.3.1.

Variantes del m´todo de Newton-Raphson: m´todos
e
e
de la secante y de “regula falsi” . . . . . . . . . . . . 54

3.4.
3.5.

Aceleraci´n de la convergencia de los m´todos iterativos: m´too
e
e
do ∆2 de Aitken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 67

3.6.
4.

Velocidad de convergencia de los m´todos iterativos . . . . . . 62
e

Algunos comentarios finales sobre los m´todos de resoluci´n
e
o
de una ecuaci´n no lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
o

M´todos de resoluci´n de sistemas de ecuaciones no lineales. . . . . . 75
e
o
4.1.

El m´todo de aproximaciones sucesivas para sistemas de n
e
ecuacionesno lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.1.1.

4.2.

El m´todo de Newton-Raphson para sistemas de n ecuaciones
e
no lineales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.2.1.

4.3.

Una variante del m´todo de aproximaciones sucesivas 88
e

Variantes del m´todo de Newton-Raphson para sise
temas: m´todo de Newton modificado y m´todos de
e
ecuasi-Newton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

Algunos comentarios sobre los m´todos de resoluci´n de sise
o
temas de ecuaciones no lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

2

Indice.

4.4.

Un programa FORTRAN para la resoluci´n de sistemas no
o
lineales. Aplicaci´n a la resoluci´n del sistema lineal planteado
o
o
en la motivaci´n de este tema . . . . . . . .. . . . . . . . . . 126
o

5.

Bibliograf´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
ıa

6.

Ejercicios sugeridos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

7.

Ejercicios propuestos en ex´menes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
a

Tema 4. Resoluci´n de ecuaciones no lineales.
o

3

Tema 4.
Resoluci´n de ecuaciones nolineales.
o

1.

Motivaci´n y generalidades
o

Ejemplo 1.1. (Hanna et al.[9]): La ecuaci´n de Peng-Robinson es una ecuaci´n de
o
o
estado que proporciona la presi´n P de un gas mediante:
o
P =

R·T
a
−
V − b V · (V + b) + b · (V − b)

donde a y b son constantes, T es la temperatura absoluta a la que se encuentra el gas, V es el volumen espec´fico y R es la constante de los gasesperfectos
ı
o
(8.31441J/(mol. K)). Para el CO2 las constantes a y b toman los valores a = 364.61
m6 .kPa / (kg.mol)2 y b = 0.02664 m3 /kg.mol. Supongamos que se desea encontrar
la densidad (es decir 1/V) del CO2 a una presi´n de 1·104 kPa y a una temperatura
o
de 340o K usando la ecuaci´n de Peng-Robinson. Ello implicar´ tener que encontrar
o
ıa
el valor de V para el que:
1 · 104 =R,340
364,61
−
V − 0,02664 V · (V + 0,02664) + 0,02664 · (V − 0,02664)

lo cual no es en modo alguno evidente. La soluci´n ..... m´s adelante.
o
a
Ejemplo 1.2. (Hanna et al. [9]): Una mezcla de un mol de CO y 3 moles de H2
se deja reaccionar a 500o C y 1 atm´sfera de presi´n hasta alcanzar su equilibrio
o
o
qu´mico y se desea estimar la composici´n de la mezcla de equilibrio. Las...