wolphram alpha

E.d.p. Cuasilineales.
1. Resuelva:
ux + uy = u2
con condici´
on inicial: u(x, 0) = h(x).
❼ Soluci´
on: La curva dato que se entrega en la condici´on inicial corresponde al eje x, por lo
que podemos parametrizar esta curva de la forma:

x = s, y = 0, u = h(s)
Luego, la ecuaci´
on caracter´ıstica es:
dx
dy
du
=
= 2 = dt
1
1
u
Podemos hacer:
dx = dy → x = y + c1 → c1 = x − y
Yusando la expresi´
on con du:
dx =

du
1
1
→ x = − + c2 → c2 = x +
u2
u
u

Luego, debemos relacionar las constantes c1 y c2 con tal de eliminarlas y que todo quede en
funci´
on de x e y:
F (c1 ) = c2
1
u
Para encontrar esta funci´
on F , se pueden evaluar x, y y u en la curva dato:
F (x − y) = x +

F (s) = s +

1
h(s)

As´ı, se obtiene finalmente la soluci´on:
(x − y) +1
1
=x+
h(x − y)
u

∴ u(x, y) =

h(x − y)
1 − yh(x − y)

2. Considere:
yux + xuy = xex + yu
sujeto a la condici´
on u(x, y) = f (x) cuando x e y satisfacen x2 − y 2 = 1.
(a). ¿Existe f tal que el problema admite u
´nica soluci´on?
(b). ¿Existe f tal que el problema admite infinitas soluciones?
(c). ¿Existe f tal que el problema no admite soluci´on?

1

❼ Soluci´
on de(a): Para que exista soluci´on u
´nica, debe cumplirse:

det

∂x
∂s
∂x
∂t

∂y
∂s
∂y
∂t

=0

Por tanto, necesitamos una parametrizaci´on de la curva dato, la cual al ser una hip´erbola
se puede parametrizar como:
x = cosh(s)
→ u = f (cosh(s))
y = senh(s)
Luego, la ecuaci´
on caracter´ıstica es:
dx
dy
du
=
= x
= dt
y
x
xe + yu
Por tanto:
det

∂x
∂s
∂x
∂t

∂y∂s
∂y
∂t

=

senh(s) cosh(s)
senh(s) cosh(s)
=0
=
senh(s) cosh(s)
y
x

Entonces no existe f tal que haya soluci´on u
´nica, pues el problema est´a mal planteado.
❼ Soluci´
on de (b): Para que hayan infinitas soluciones la curva dato debe ser una curva
caracter´ıstica, lo que equivale a decir que es cuando la curva dato satisface la e.d.p.
Por tanto, hay infinitas soluciones paratoda f que cumpla:

f (cosh(s)) · senh(s) = cosh(s)ecosh(s) + senh(s)f (cosh(s))
❼ Soluci´
on de (c): Para que no exista soluci´on, el jacobiano debe ser igual a 0, pero la curva
dato no debe ser una curva caracter´ıstica. Es decir, no existe soluci´on para toda f que
cumpla:
f (cosh(s)) · senh(s) = cosh(s)ecosh(s) + senh(s)f (cosh(s))

3. Determine la soluci´
on u = u(x, y) de lasiguiente ecuaci´on diferencial parcial:
(y − u)ux + (x − y)uy = u − x
de modo que contenga a la curva C definida como x = −s, y = s, u = s.
❼ Soluci´
on: La ecuaci´
on caracter´ıstica es:

dx
dy
du
=
=
= dt
y−u
x−y
u−x
Lo cual podemos describir como:


dx = (y − u)dt
dy = (x − y)dt


du = (u − x)dt

2

Notar que:
dx + dy + du = 0
∴ x + y + u = c1
Luego, notar que:xdx + udy + ydu = 0
xdx + d(uy) = 0
x2
+ uy = c2
2
As´ı:
F (c1 ) = c2
F (x + y + u) =

x2
+ uy
2

Evaluando en la curva dato:
3s
2
x2
3
+ uy
∴ (x + y + u) =
2
2
F (s) =

u(x, y) =

x2 − 3x − 3y
3 − 2y

4. Resolver para u:
∂u
∂u
+3
=0
∂x
∂y
sujeto a la condici´
on u(0, y) = 4e−2y + 3e−6y .
❼ Soluci´
on: La curva dato se puede parametrizar como:

x = 0, y = s,u = 4e−2s + 3e−6s
Y la ecuaci´
on caracter´ıstica es:
dy
du
dx
=
=
= dt
1
3
0
Luego, se forman las relaciones entre las partes de la ecuaci´on caracter´ıstica:
3dx = dy → 3x = y + c1 → c1 = 3x − y
du = 0 · dx = 0 → u = c2
Entonces:
F (c1 ) = c2
F (3x − y) = u
F (−s) = 4e−2s + 3e−6s
∴ u(x, y) = 4e2(3x−y) + 3e6(3x−y)
3

5. Dado el problema:
xux + yuy = u − xy
determine, siexiste, una funci´
on g tal que haya soluci´on u
´nica que pase por la curva x = s, y =
g(s), u = s2 .
❼ Soluci´
on: La ecuaci´
on caracter´ıstica es:
dx
dy
du
=
=
= dt
x
y
u − xy

El jacobiano es:
1
1 g (s)
=
s
x
y

g (s)
= g(s) − sg (s)
g(s)

Lo cual, debe ser distinto de 0, para que exista soluci´on u
´nica. Por tanto, la funci´on g(s)
debe satisfacer:
g (s)...