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CONTROL EN VARIABLES DE ESTADO DE UN SERVOMOTOR
Mónica Carrión Sanmartín
e-mail: mcarrionsa@est.ups.edu.ec
Resumen – Este documento presenta el análisis y control de un sistema de un servomotor modelado en espacio de estado y se obtiene la respuesta del sistema mediante los diseños con realimentación de los estados y de sistemas con observadores de estado utilizando Matlab.

Índices –Realimentación de estado, diseño de observador, servomecanismos, Matlab.
Introducción
* Los sistemas tipo servo, mejor conocidos como servomecanismos son aquellos que implementan una acción de seguimiento de la variable de salida respecto a una referencia. En ellos, los actuadores (elementos que llevan a cabo la acción) son motores de corriente directa (dc) conocidos como servomotores.
*Entre las características de los servomotores puede destacarse una inercia pequeña o bien una alta relación entre el par y la inercia, por lo cual resultan útiles en aplicaciones tan variadas como las correspondientes al campo de la robótica o las que involucran labores de fresado y mecanizado de piezas
* El manejo de tal elemento actuador corre por cuenta de un servo manejador, que consiste enun subsistema electrónico controlador de movimiento. Dicho sistema debe admitir la programación del posicionamiento por puntos y de otras variables derivadas como aceleración y velocidad.
* Delineadas así la importancia y multiplicidad de aplicaciones de los servomecanismos, se comprenderá que muchos folios difícilmente proporcionarían una explicación cabal acerca de los mismos. Huelgaentonces subrayar la pertinencia de un artículo como este donde se ofrece una modelación en espacio de estados y un análisis de la respuesta temporal de los servomecanismos, ante estímulos como el escalón.
Preparación del Informe
Servomotor Controlado por Armadura

Fig 1. Servomotor controlado por armadura

∅t=Kfift=cte.
Tmt=Ktimt
emt=Kcωmt
Lmdimdt+Rm+em=ea
En el sistema rotacional que existesobre el eje del motor, se obtiene la ecuación:

Tm=Jd2θmdt2+Bdθmdt+Krθm

En el método de representación de las variables de estado, se definen las ecuaciones de entrada y salida, las cuales se identifican con la tensión aplicada a la armadura y la posicicon angular del eje del motor (θm), respectivamente, manipulando las ecuaciones anteriores tenemos:

ω=dθdt
∝=-KrJθ-BJω+KtJimdimdt=-KcLmω-RmLmim+1Lmea

Seleccionamos como variables de estado a la posición angulas θ, la velocidad (ω) y la corriente de la armadura (im), se tiene:

x1=θ→ x1=ω
x1=ω→ x2=α
x3=im→ x3=dimdt
u=ea
y=θ→ y=x1

Entonces:

x1=x2
x2=-KrJx1-BJx2+KtJx3
x2=-KcLmx2-RmLmx3+1Lmu
y=x1

Aquí se representa la matriz de variables de estado:

x=010-KrJ-BJKtJ0-KcLm-RmLmx1x2x3+001Lmu
y=100x1x2x3A=010-KrJ-BJKtJ0-KcLm-RmLm B=001Lm
C=100 D=0

Para el análisis del sistema consideraré los siguientes aspectos:

1. Función de transferencia
2. Respuesta del sistema, el escalón, sin realimentación de estados
3. Observabilidad
4. Controlabilidad
5. Diseño de un sistema de control mediante asignación de polos
6. Estudio de la respuesta al escalón conretroalimentación lineal de estados
7. Diseño de observadores de estado
Construcción de la función de transferencia y obtención de los polos del sistema:
La función de transferencia del sistema en variables de estado se obtiene mediante el siguiente comando

num,den=ss2tfA,B,C,D

Este comando convierte el sistema de variables de estado

x=Ax+Bu
y=Cx+Du

A la función de transferencia:Y(s)U(s)=i-ésimo elemento de |CγI-A-1B+D|

Las constantes del sistema son los siguientes:

Rm = 0.2Ω
Lm = 0.0055mH
Ke = 0.05Vs/rad
Kt = 0.000065Nm/A
Kr = 0.015Nm/rad
B = 0.055Nm/rad
J = 0.0046Nms2/rad

Remplazando los valores en las matrices obtenemos:

A=010-3.2608-11.950.014130-9.0901-36.36 B=00181.81
C=100 D=0

Los polos del sistema se obtienen...