Zill capitulo 2

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN
2.1 Variables separables 2.2 Ecuaciones exactas 2.3 Ecuaciones lineales 2.4 Soluciones por sustitución Ejercicios de repaso

Ya podemos resolver algunas ecuaciones diferenciales. Comenzaremos con las de primer orden y veremos cómo hacerlo; el método dependerá del tipo de ecuación. A través de los años, los matemáticos han tratado de resolver muchasecuaciones especializadas. Por ello hay muchos métodos; sin embargo, lo que funciona bien con un tipo de ecuación de primer orden no necesariamente se aplica a otros. En este capítulo nos concentraremos en tres tipos de ecuaciones de primer orden.

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Variables separables

VARIABLES

SEPARABLES

Solución por integración Definición de una ecuación diferencial separable Método de soluciónPérdida de una solución Formas alternativas

Con frecuencia, para resolver las ecuaciones dikrenciales se tendrá que integrar y quizá la integración requiera alguna técnica especial. Convendrá emplear algunos minutos en un repaso del texto de cálculo, o si se dispone de un SAC {sistema algebraico de computación: computer repasar la sintaxis de los comandos para llevar a cabo las integracionesbásicas por partes o fracciones parciales.

Solución por integración Comenzaremos nuestro estudio de la metodología para rey), con la más sencilla de todas las ecuaciones solver ecuaciones de primer orden, diferenciales. Cuandofes independiente de la variable y -esto es, y) g(x)- la ecuación diferencial

se puede resolver por integración. Si (1) se llega a la solución
y =

es una funcióncontinua, al integrar ambos lados de

g(x)

= G(x) + c,

en donde Si

es una antiderivada (o integral indefinida) de g(x); por ejemplo, =1+ entonces y= (1 + = + + c. en

La ecuación y su método de solución, no son más que un caso especial en y) es un producto de una función de x por una función dey.

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2 ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Obsérvese que al dividir entre la funciónforma

una ecuación separable se puede escribir en la

donde, por comodidad,p(y) representa a Así podemos ver de inmediato que la ecuación (2) se reduce a la ecuación (1) cuando h(y) = 1. representa una solución de se debe cumplir Ahora bien, si y =

Pero

dx, de modo que la ecuación (3) es lo mismo que
=

H(y) =
de p(y) =

+

en donde H(y) y

son

y de g(x), respectivamente.Método de solución ecuación (4) indica el procedimiento para resolver las ecuacio= g(x) se obtiene una familia nes separables. Al integrar ambos lados métrica de soluciones, que casi siempre se expresa de manera implícita.

Na

hay necesidad de emplear dos constantes cuando se integra una ecuación separable, porque si escribimos + = + la diferencia se puede reemplazar con una sola constantec, como en la ecuación (4). En muchos casos de los capítulos siguientes, sustituiremos las constantes en la forma conveniente para determinada ecuación; por ejemplo, a veces se pueden reemplazar los múltiplos o las combinaciones de constantes con una sola constante.

de una ecuación
Resolver (1 + x)
SOLUCIÓN

0. Dividimos entre (1 + y escribimos
=

1 + x), de donde

+
.

leyes delos exponentes

=

+ + x).

Definimos c como

con lo que llegamos ay =

+ x).

Sección 2.1 Variables separables

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SOLUCIÓN

Como cada integral da como resultado un logaritmo, la elección ALTERNATIVA en lugar de c: más prudente de la constante de integración es + + = o bien x). )= +

y entonces Aun cuando no más conveniente usar

las integrales indefinidas sean logaritmos,podría seguir siendo Sin embargo, no se puede establecer una regla invariable.

Problema de valor inicial

Resolver el problema de valor inicial
SOLUCIÓN

Partimos dey

=

para obtener
y

Esta solución se Vemos que Cuando determina que ímico círculo de

puede escribir en la forma la solución representa una 4, = 3, de modo que 16 + = 25. De acuerdo la familia que pasa por el

+...